2014深圳一模數(shù)學(xué)(理)試題答案

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絕密★啟用前                                                 試卷類(lèi)型:A
2014年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)(理科)            2014.2
本試卷共6頁(yè),21小題,滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生首先檢查答題卡是否整潔無(wú)缺損,監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確;之后務(wù)必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫(xiě)自己的學(xué)校、姓名和考生號(hào),同時(shí),將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū),請(qǐng)保持條形碼整潔、不污損.
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,答案不能答在試卷上.不按要求填涂的,答案無(wú)效.
3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上,請(qǐng)注意每題答題空間,預(yù)先合理安排;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.
4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再做答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的答案無(wú)效.
5.考生必須保持答題卡的整潔,考試結(jié)束后,將答題卡交回.
參考公式:
如果事件 互斥,那么 ;
如果事件 相互獨(dú)立,那么 ;
若錐體的底面積為 ,高為 ,則錐體的體積為 .
一、選擇題:本大題共8個(gè)小題;每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合 ,集合 ,集合 .則集合 可表示為
A.      B.         C.       D.  
2.復(fù)數(shù) 滿(mǎn)足 (其中 為虛數(shù)單位),則 =                 
A.          B.         C.      D. 
3.下列函數(shù)中,為奇函數(shù)的是
A. B. C. D. 
4.“ ”是“ 函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減”的
A.充分不必要條件     B.必要不充分條件
C.充分必要條件       D.既不充分也不必要條件
5.執(zhí)行如圖1所示的程序框圖,則輸出的 的值為
(注:“ ”,即為“ ”或?yàn)?ldquo; ”.)
A.               
B. 
C.             
D. 
6. 的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為
A.       B.
C.   D. 
7.如圖2,在矩形 內(nèi):記拋物線 與直線 
圍成的區(qū)域?yàn)?(圖中陰影部分).隨機(jī)往矩形 內(nèi)投一
點(diǎn) ,則點(diǎn) 落在區(qū)域 內(nèi)的概率是
A.             B. 
C.              D. 
8.在平面直角坐標(biāo)系中,定義兩點(diǎn) 與 之間的“直角距離”為 .給出下列命題:
(1)若 , ,則 的最大值為 ;
(2)若 是圓 上的任意兩點(diǎn),則 的最大值為 ;
 (3) 若 ,點(diǎn) 為直線 上的動(dòng)點(diǎn),則 的最小值為 .
其中為真命題的是
A.(1)(2)(3)     B.(1)(2)      C.(1)(3)       D. (2)(3)
二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿(mǎn)分30分.本大題分為必做題和選做題兩部分.
(一)必做題:第9、10、11、12、13題為必做題,每道試題考生都必須作答.
9.函數(shù) 的定義域?yàn)?              .
10.某幾何體的三視圖如圖3所示,其正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形,則此幾何體的體積是        .
11.已知雙曲線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn),   
且雙曲線 的漸近線方程為 ,則雙曲線 的方程為           .
12. 設(shè)實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足  向量 , .若 ,則實(shí)數(shù) 的最大值為         .
13.在數(shù)列 中,已知 ,  ,且數(shù)列 是等比數(shù)列,則         .
(二)選做題:第14、15題為選做題,考生只能選做一題,兩題全答的,只計(jì)算前一題的得分.
14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在直角坐標(biāo)系 中,以原點(diǎn) 為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),曲線 的極坐標(biāo)方程為 .則曲線 與曲線 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè).
15.(幾何證明選講選做題)如圖4,已知 是⊙ 的直徑, 是⊙ 的切線,過(guò) 作弦 ,若 , ,則          .
 
三、解答題:本大題共6小題,滿(mǎn)分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.
16.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù) 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) .
(1)求 的值;
(2)在 中, 、 、 所對(duì)的邊分別為 、 、 ,若 ,且 .求 .
 
 
17.(本小題滿(mǎn)分12分)
某網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)為了統(tǒng)計(jì)某市網(wǎng)友2013年11月11日在某淘寶店的網(wǎng)購(gòu)情況,隨機(jī)抽查了該市當(dāng)天 名網(wǎng)友的網(wǎng)購(gòu)金額情況,得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表(如圖5(1)):
 
 
 
 
 
 
 
 
 
若網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò) 千元的顧客定義為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,網(wǎng)購(gòu)金額不超過(guò) 千元的顧客定
義為“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,已知“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”與“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”人數(shù)比恰好為 .
(1)試確定 , , , 的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖5(2)).
(2)該營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)為了進(jìn)一步了解這 名網(wǎng)友的購(gòu)物體驗(yàn),從“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”、“網(wǎng)購(gòu)
達(dá)人”中用分層抽樣的方法確定 人,若需從這 人中隨機(jī)選取 人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.設(shè) 為選取的 人中“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的人數(shù),求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
 
 
18.(本小題滿(mǎn)分14分)
如圖6所示,平面  平面 ,且四邊形 為矩形,四邊形 為直角梯形, , , , .
(1)求證  平面 ;
(2)求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值;
(3)求直線 與平面 所成角的余弦值.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.(本小題滿(mǎn)分14分)
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,且滿(mǎn)足 .
(1)求 , 的值;
(2)求 ;
(3)設(shè) ,數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,求證: .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20.(本小題滿(mǎn)分14分)
如圖7,直線 ,拋物線 ,已知點(diǎn) 在拋
物線 上,且拋物線 上的點(diǎn)到直線 的距離的最小值為 .
(1)求直線 及拋物線 的方程;
(2)過(guò)點(diǎn) 的任一直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn) )與拋物線 交于 、 兩點(diǎn),直線 與直線 相交于點(diǎn) ,記直線 , , 的斜率分別為 , ,  .問(wèn):是否存在實(shí)數(shù) ,使得 ?若存在,試求出 的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21.(本小題滿(mǎn)分14分)
已知函數(shù) .
(1)求 在 上的最大值;
(2)若直線 為曲線 的切線,求實(shí)數(shù) 的值;
(3)當(dāng) 時(shí),設(shè) ,且 ,若不等式 恒成立,求實(shí)數(shù) 的最小值.
 
 
 
 
 
2014年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)(理科)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
說(shuō)明:
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.
二、對(duì)計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定給分,但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分.
三、解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù).
一、選擇題:本大題每小題5分,滿(mǎn)分40分.
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D A D C B A
二、填空題:本大題每小題5分,滿(mǎn)分30分.
9.  ;         10.  ;        11. ;        12. ;
13. ;       14. ;        15.  .
三、解答題
16.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù) 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) .
(1)求 的值;
(2)在 中, 、 、 所對(duì)的邊分別為 、 、 ,若 ,且 .求 .
解:(1)由題意可得 ,即 .    ……………………………2分
 , ,   ,                          
 .                   ……………………………………………………………5分
 
 
(2) , 
 ,   ……………………………………………………7分
 .    …………………………………………8分
由(1)知 ,
 .
 ,  ,  ……………………………10分
又 ,
 .……………12分
【說(shuō)明】 本小題主要考查了三角函數(shù) 的圖象與性質(zhì),三角恒等變換,以及余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
17.(本小題滿(mǎn)分12分)
某網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)為了統(tǒng)計(jì)某市網(wǎng)友2013年11月11日在某淘寶店的網(wǎng)購(gòu)情況,隨機(jī)抽查了該市當(dāng)天 名網(wǎng)友的網(wǎng)購(gòu)金額情況,得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表(如圖5(1)):
 
 
 
 
 
 
 
 
若網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò) 千元的顧客定義為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,網(wǎng)購(gòu)金額不超過(guò) 千元的顧客定
義為“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,已知“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”與“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”人數(shù)比恰好為 .
(1)試確定 , , , 的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖5(2)).
(2)該營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)為了進(jìn)一步了解這 名網(wǎng)友的購(gòu)物體驗(yàn),從“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”、“網(wǎng)購(gòu)
達(dá)人”中用分層抽樣的方法確定 人,若需從這 人中隨機(jī)選取 人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.設(shè) 為選取的 人中“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的人數(shù),求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
 
解:(1)根據(jù)題意,有
 
解得         …………………2分
 , .
補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示. ………4分
(2)用分層抽樣的方法,從中選取 人,則
其中“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”有 人,“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”有 人.  …………………6分
故 的可能取值為0,1,2,3; 
  ,  ,
 , .…………………………10分
所以 的分布列為:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    .        ……………………12分
【說(shuō)明】本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力,數(shù)據(jù)處理能力.
18.(本小題滿(mǎn)分14分)
如圖6所示,平面  平面 ,且四邊形 為矩形,四邊形 為直角梯形, , , , .
(1)求證  平面 ;
(2)求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值;
(3)求直線 與平面 所成角的余弦值.
 
 
 
 
解:(法一)(1)取 中點(diǎn)為 ,連接 、 ,
   且 ,
    ,則  且 .  …………2分
        四邊形 為矩形,  且 ,
 且 ,
    ,則 .   
 平面 , 平面 ,    
 平面 .          ……………………………………………………4分
(2)過(guò)點(diǎn) 作 的平行線交 的延長(zhǎng)線
于 ,連接 , , ,
  ,  
  , , , 四點(diǎn)共面.
 四邊形 為直角梯形,四邊形 為矩形,
  , ,又  ,
 平面 ,  ,
又 平面  平面 ,
  為平面 與平面 所成銳二面角的平面角.……………………7分
  ,  .
即平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 .  ……………………9分
(3)過(guò)點(diǎn) 作 于 ,連接 ,
 根據(jù)(2)知 , , , 四點(diǎn)共面, ,
  , ,
又  ,  平面 ,
    ,則 .
又  ,  平面 .
 直線 與平面 所成角為 .          ……………………………11分
  , ,
  , , ,
  .
即直線 與平面 所成角的余弦值為 .   ……………………………14分
(法二)(1) 四邊形 為直角梯形,四邊形 為矩形,
  , ,
又 平面  平面 ,且
平面  平面 ,
 平面 .
以 為原點(diǎn), 所在直線為 軸, 所在直線為 軸,
 所在直線為 軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
根據(jù)題意我們可得以下點(diǎn)的坐標(biāo):
 , , , , , , 則 , .      ………………2分
 , ,  為平面 的一個(gè)法向量.
又 ,
 平面 .          …………………………………………………………4分
(2)設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ,則 
 , , 
  ,  取 ,得 .   ……………………………6分
 平面 ,
 平面 一個(gè)法向量為 ,
設(shè)平面 與平面 所成銳二面角的大小為 ,
則 .
因此,平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 . …………………9分
(3)根據(jù)(2)知平面 一個(gè)法向量為 ,
 ,    ,………12分
設(shè)直線 與平面 所成角為 ,則 .
因此,直線 與平面 所成角的余弦值為 .  ………………………14分
【說(shuō)明】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,二面角及三角函數(shù)及空間坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.
19. (本小題滿(mǎn)分14分)
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,且滿(mǎn)足 .
(1)求 , 的值;
(2)求 ;
(3)設(shè) ,數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,求證: .
解:(1)當(dāng) 時(shí),有 ,解得 .
當(dāng) 時(shí),有 ,解得 .……………2分
(2)(法一)當(dāng) 時(shí),有 , ……………①
 . …………………②
①—②得: ,即: .…………5分
  .        
      .             ………………………………………8分
另解: .
 又 當(dāng) 時(shí),有 ,         .  …………………………8分
(法二)根據(jù) , ,猜想: . ………………………………3分
數(shù)學(xué)歸納法證明如下: 
   (Ⅰ)當(dāng) 時(shí),有 ,猜想成立.
   (Ⅱ)假設(shè)當(dāng) 時(shí),猜想也成立,即: .
那么當(dāng) 時(shí),有 ,
即: ,………………………①
又  ,  …………………………②   
 ①-②得: ,
解,得  .
 當(dāng) 時(shí),猜想也成立.
    因此,由數(shù)學(xué)歸納法證得 成立.………………………………………8分
(3)  ,  ……………………………10分
    
              
             
               .      ………………………………………14分
【說(shuō)明】考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列裂項(xiàng)求和公式、放縮法證明不等式等知識(shí),考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
20.(本小題滿(mǎn)分14分)
如圖7,直線 ,拋物線 ,已知點(diǎn) 在拋
物線 上,且拋物線 上的點(diǎn)到直線 的距離的最小值為 .
(1)求直線 及拋物線 的方程;
(2)過(guò)點(diǎn) 的任一直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn) )與拋物線 交于 、 兩點(diǎn),直線 與直線 相交于點(diǎn) ,記直線 , , 的斜率分別為 , ,  .問(wèn):是否存在實(shí)數(shù) ,使得 ?若存在,試求出 的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)(法一) 點(diǎn) 在拋物線 上,  .    ……………………2分
設(shè)與直線 平行且與拋物線 相切的直線 方程為 ,
由  得 , 
 ,
 由 ,得 ,則直線 方程為 .
 兩直線 、 間的距離即為拋物線 上的點(diǎn)到直線 的最短距離,
 有 ,解得 或 (舍去).
 直線 的方程為 ,拋物線 的方程為 . …………………………6分
(法二) 點(diǎn) 在拋物線 上,  ,拋物線 的方程為 .……2分
設(shè) 為拋物線 上的任意一點(diǎn),點(diǎn) 到直線 的距離為 ,根據(jù)圖象,有 , ,
 , 的最小值為 ,由 ,解得 .
因此,直線 的方程為 ,拋物線 的方程為 .…………………6分
(2) 直線 的斜率存在, 設(shè)直線 的方程為 ,即 ,
由   得 ,
設(shè)點(diǎn) 、 的坐標(biāo)分別為 、 ,則 , ,
 , ,  …………………………9分
 .…10分
由  得 , ,
  ,      ……………………………………………13分
 .
因此,存在實(shí)數(shù) ,使得 成立,且 .…………………………14分
【說(shuō)明】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系,切
線方程,點(diǎn)到直線距離,最值問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.
21. (本小題滿(mǎn)分14分)
已知函數(shù) .
(1)求 在 上的最大值;
(2)若直線 為曲線 的切線,求實(shí)數(shù) 的值;
(3)當(dāng) 時(shí),設(shè) ,且 ,若不等式 恒成立,求實(shí)數(shù) 的最小值.
解:(1) ,…………………………2分
令 ,解得 (負(fù)值舍去),
由 ,解得 .
(。┊(dāng) 時(shí),由 ,得 ,
  在 上的最大值為 .…………………………………3分
(ⅱ)當(dāng) 時(shí),由 ,得 ,
  在 上的最大值為 .……………………………………4分
(ⅲ)當(dāng) 時(shí), 在 時(shí), ,在 時(shí), ,
  在 上的最大值為 .…………………………………5分
(2)設(shè)切點(diǎn)為 ,則      ……………………………6分
由 ,有 ,化簡(jiǎn)得 , 
即 或 , ……………………………①                   
由 ,有 ,……………②
由①、②解得 或 .      ……………………………………………9分
(3)當(dāng) 時(shí), ,
由(2)的結(jié)論直線 為曲線 的切線,
 , 點(diǎn) 在直線 上,
根據(jù)圖像分析,曲線 在直線 下方.   …………………………10分
下面給出證明:當(dāng) 時(shí), .    
  ,
 當(dāng) 時(shí), ,即 .………………………12分
  ,
 ,  .
 要使不等式 恒成立,必須 .……………13分
又 當(dāng) 時(shí),滿(mǎn)足條件 ,
且 ,
因此, 的最小值為 .    …………………………………………………14分
【說(shuō)明】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生的分類(lèi)討論,計(jì)算推理能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí).
 
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