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一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.已知集合，則 （ ）
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量，，且，則向量( )
A. B. C. D.
4.已知直線與直線平行且與圓：相切,則直線的方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
5.對(duì)于平面、、和直線、、、,下列命題中真命題是( )
A.若,則 B.若,則
C.若則 D.若,則
6.不等式組表示的平面區(qū)域的面積是( )
A. B. 0 C. D.
7.已知函數(shù)，若過點(diǎn)且與曲線相切的切線方程為，則實(shí)數(shù)的值是( )
A. B. C.6 D.9
8.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),定義某種運(yùn)算“※”如下:當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí),※=;當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),※=.則在此定義下,集合※中的元素個(gè)數(shù)是( )
A.10個(gè) B.15個(gè) C.16個(gè) D.18個(gè)
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分．
（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
莖葉圖, 根據(jù)莖葉圖計(jì)算數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 .
10.已知等差數(shù)列{},滿足,則此數(shù)列的前項(xiàng)
的和 .
11.已知直線與直線垂直，則直線的傾斜角 .
12.設(shè)是上的奇函數(shù),. 當(dāng)時(shí)有,
則 .
13.一物體在力(單位：)的作用下沿與力相同的方向,
從處運(yùn)動(dòng)到 (單位：)處,則力做的功為 焦.
14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中,圓的圓心到直線 的距離是 .
15.（幾何證明選講選做題）如圖,為圓直徑,切圓于點(diǎn), , ,則等于 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.（本小題滿分12分）已知函數(shù).(1)求的最大值和最小正周期；(2) 若，是第二象限的角，求.
17.（本小題滿分12分）某社團(tuán)組織名志愿者利用周末和節(jié)假日參加社會(huì)公益活動(dòng),活動(dòng)內(nèi)容是：1、到各社區(qū)宣傳慰問,倡導(dǎo)文明新風(fēng)；2、到指定的醫(yī)院、福利院做義工,幫助那些需要幫助的人.各位志愿者根據(jù)各自的實(shí)際情況,選擇了不同的活動(dòng)項(xiàng)目,相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：
宣傳慰問 義工 總計(jì)
20至40歲 11 16 27
大于40歲 15 8 23
總計(jì) 26 24 50
(1) 分層抽樣方法在做義工的志愿者中隨機(jī)抽取6名,年齡大于40歲的應(yīng)該抽取幾名?
18.（本小題滿分14分）如圖,已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直,且,,是的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到面的距離；(2)求二面角的正弦值.
19.（本小題滿分14分）已知等差數(shù)列的公差，它的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列.（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
20.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)．已知△為等腰三角形．（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是
直線上的點(diǎn)，滿足，
求點(diǎn)的軌跡方程．
21.（本小題滿分14分）已知二次函數(shù),且不等式的解集為.(1) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,求的解析式.
(2) 的最小值不大于,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3) 如何取值時(shí),函數(shù)()存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).
惠州市2014屆高三第一次調(diào)研考試
一．選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D C A D B
1.【解析】，故，故選C.
2.【解析】，所以點(diǎn)（位于第二象限.故選B.
3.【解析】∵,∴,∴.故選A.
4.【解析】圓的圓心為,半徑為,因?yàn)橹本�,所以,設(shè)直線 的方程為,由題意得或.
所以,直線的方程或.故選D.
(二）【解析】對(duì)于平面、、和直線、,真命題是“若, 則”.故選C
6.【解析】不等式組表示的可行域如圖所示，
故面積為.故選A.
7.【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則 ①，
∵，又切線l過A、M兩點(diǎn)，
∴則 ②
聯(lián)立①、②可解得，從而實(shí)數(shù)的值為故選D.
8.【解析】從定義出發(fā),抓住的奇偶性對(duì)12實(shí)行分拆是解決本題的關(guān)鍵,當(dāng)同奇偶時(shí),根據(jù)※=將12分拆兩個(gè)同奇偶數(shù)的和,當(dāng)一奇一偶時(shí),根據(jù)※=將12分拆一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的積,再算其組數(shù)即可.
若同奇偶,有,前面的每種可以交換位置,最后一種只有1個(gè)點(diǎn),這時(shí)有;
若一奇一偶,有,每種可以交換位置,這時(shí)有;
∴共有個(gè).故選B
二．填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9．94.5 10．35 11． （或） 12． 13．36 14． 15． 5
9.【解析】從莖葉圖中可知14個(gè)數(shù)據(jù)排序?yàn)椋?9 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位數(shù)為94與95的平均數(shù)94.5 .
10.【解析】.
11.【解析】直線與直線垂直得，.?
12.【解析】
.
13.【解析】
14.【解析】由得圓為,圓的圓心直線的直角坐標(biāo)方程為，所以點(diǎn)到直線的距離是.
15.【解析】連接,切圓于點(diǎn),.又，是中點(diǎn)，.
三、解答題：
16.解(1)∵
………………………4分
∴的最大值為2,……5分，最小正周期為 ………6分
(2)由(1)知,
所以,即 ………………………8分
又是第二象限的角,所以……10分
所以 ………12分
17解：(1)若在做義工的志愿者中隨機(jī)抽取6名,則抽取比例為……………2分
∴ 年齡大于40歲的應(yīng)該抽取人. ………………………4分
(2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假設(shè)選到年齡大于40歲的人數(shù)為,
∵ 6名志愿者中有2人的年齡大于40歲,其余4人的年齡在20到40歲之間,
∴ 可能的取值為. ………………………5分
則,, ………8分
∴的分布列為
………10分
18（本小題滿分14分）解: (1)取的中點(diǎn),連、
、
則面,的長(zhǎng)就是所要求的距離.
………………………3分
、,
,在直角三角形中,有…6分
（另解:由
(2)連結(jié)并延長(zhǎng)交于,連結(jié)、.
則就是所求二面角的平面角. ……………9分
作于,則
在直角三角形中,
在直角三角形中,……………12分
,故所求的正弦值是 ……………14分
方法二: (1)以為原點(diǎn),、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則有、、、……2分
設(shè)平面的法向量為
則由
由,……4分
則點(diǎn)到面的距離為……6分
(2) ……8分
設(shè)平面的法向量為則由知:
由知:取 ……………10分
由(1)知平面的法向量為 ……………11分
則<>. ……………13分
結(jié)合圖形可知,二面角的正弦值是 ……………14分
19.（本題滿分14分）解：（1）數(shù)列是等差數(shù)列且，
. ①…2分
成等比數(shù)列，即②………4分
由①，②解得或…………5分
………6分
（2）證明;由（1）可得， …………7分
所以. …………8分
所以
. …………10分
，. …………11分
，數(shù)列是遞增數(shù)列，.………13分
. …………14分
20解：（1）設(shè)，
由題意,可得,即， ……………2分
整理得，得(舍)或，所以. ……………4分
（2）由（1）知,可得橢圓方程為.
直線方程為 ……………………………………………5分
兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,消去y并整理得……6分
解得得方程組的解 ……………………8分
不妨設(shè),設(shè)的坐標(biāo)為則
， …………10分
由得.
于是 …………11分
由得，
化簡(jiǎn)得， ………………………………13分
將代入得，
由得.因此,點(diǎn)的軌跡方程是. …14分
21解：∵的解集為,
∴的解集為, ……………………1分
∴,且方程的兩根為
即，∴ ……2分 （1）∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,即有兩個(gè)相等的實(shí)根
∴,
∴或 …………3分
∵,∴, ∴ …………4分
（2）
∵,∴的最小值為, ……………………5分
則,,解得, …………7分
∵,∴ ………………………………8分
（3）由,得 (※)
①當(dāng)時(shí),方程(※) 有一解,
函數(shù)有一零點(diǎn)； ……………………9分
②當(dāng)時(shí),
方程(※)有一解, 令
得, ，
i)當(dāng)，時(shí)，（（負(fù)根舍去）），函數(shù)有一零點(diǎn). ……………10分
ii) 當(dāng)時(shí)，的兩根都為正數(shù)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn).11分
ⅲ) 當(dāng)時(shí)，，
③方程(※)有二解,
i) 若,，時(shí),
（（負(fù)根舍去）），函數(shù)
有兩個(gè)零點(diǎn)； …12分
ii) 當(dāng)時(shí)，，的兩根都為正數(shù)，
當(dāng)或時(shí)，
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。……13分
ⅲ) 當(dāng)時(shí)，，恒成立，
取大于0()的任意數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) …14分
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