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2014年汕頭市普通高考模擬考試試題
理 科 數(shù) 學(xué)
本試卷共4頁(yè)，20小題，滿分150分�？荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生首先檢查試題卷、答題卡是否整潔無缺損，之后務(wù)必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己班級(jí)，姓名和座位號(hào)。
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上題目的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再涂其他答案，答案答在答題卡上。不按要求填涂的，答案無效。
3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，請(qǐng)注意每題答題空間，預(yù)先合理安排；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回。
參考公式：
體積公式： , ，其中 分別是體積、底面積和高；
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 的模是（ ）
A.4 B. C. D.8
2.若集合 , ,則=（ ）
A.(1,3) B. C.（-1,3） D.（-3,1）
3．如圖，在中 ，則 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.雙曲線 的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（ ）
A.2 B. C.1 D.3 第3題圖
5.在下列命題
① ； ②
③ 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為2；④設(shè)隨機(jī)變量 若 ，則 ，其中所有正確命題的序號(hào)是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D. ②③④
6.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有（ ）
A.4種 B. 10種 C. 18種 D. 20種
7.某個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截，截得的幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（ ）
A.4 B. C. D.8
第7題圖
8.設(shè) ）為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中 .令 , ,若 ,且 ，則稱點(diǎn)B為點(diǎn)A的“相關(guān)點(diǎn)”，記作： ,已知 ）為平面上一個(gè)定點(diǎn)，平面上點(diǎn)列 滿足： = ，且點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，其中 ,z則點(diǎn) 的相關(guān)點(diǎn)”有（ ）個(gè)
A.4 B.6 C.8 D.10
二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分
(一)必做題（9-13題）
9.已知 ，則
10.在等比數(shù)列 中， ,若 為等差數(shù)列，且 , 則數(shù)列 的前5項(xiàng)和等于
11.若執(zhí)行如圖所示的框圖，輸入 則輸出的數(shù)等于
12.設(shè) 是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí), ),
13.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求以每天消耗A、B原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司可共獲得的最大利潤(rùn)是
（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題，兩題全答的，只記前一題的得分）
14.在直角坐標(biāo)系 中，曲線 的參數(shù)方程為 ；在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 取相同的長(zhǎng)度單位，且原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線 的方程為 ，則 與 交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
15.如圖，AD,AE,BC分別與圓O切于點(diǎn)D,E,F,延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G，給出下列三個(gè)結(jié)論： , ,其中正確結(jié)論的序號(hào)是
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.（本小題12分）設(shè) , ( ),函數(shù) ，且函數(shù) 圖像的一個(gè)對(duì)稱中心與它相鄰的一條對(duì)稱軸之間的距 離
(I)為求函數(shù) 的解析式。
(II)在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿足 ,
求c邊的長(zhǎng)。
17. （本小題滿分12分）靖國(guó)神社是日本軍國(guó)主義的象征。中國(guó)人民珍愛和平，所以要堅(jiān)決反對(duì)日本軍國(guó)主義。2013年12月26日日本首相安倍晉三悍然參拜靖國(guó)神社，此舉在世界各國(guó)激起輿論的批評(píng)。某報(bào)的環(huán)球輿情調(diào)查中心對(duì)中國(guó)大陸七個(gè)代表性城市的1000個(gè)普通民眾展開民意調(diào)查。某城市調(diào)查體統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
性別
中國(guó)政府是否
需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議
問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬 男 女
需要 50 250
不需要 100 150
（I）試估計(jì)這七個(gè)代表性城市的普通民眾中，認(rèn)為“中國(guó)政府需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬”的民眾所占比例；
（II）能否有以上的把握認(rèn)為這七個(gè)代表性城市的普通民眾的民意與性別有關(guān)？
(III)從被調(diào)查認(rèn)為“中國(guó)政府需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬”的民眾中，采用分層抽樣的方式抽取6人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查，然后在這6人中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取2人進(jìn)行電視專訪，記被抽到的2人中女性的人數(shù)為X，求X的分布列。
P( )
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附： ,
18. （本小題滿分14分）如圖，已知 是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在 上，點(diǎn)F在 上，且 .
(I)求證：E、B、F、 四點(diǎn)共面；
（II）若點(diǎn)G在BC上， ，點(diǎn)M在 上， ，垂足為H，
求證： ;
(III)用 表示截面 和面 所成銳二面角大小，
求 .
19. （本小題滿分14分）已知橢圓C的方程為 ，如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中， 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
（I）求橢圓C的離心率；
(II)若橢圓C與 無公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（III）若橢圓C與 相交于不同的兩點(diǎn)，分別為M、N,
求 面積S的最大值。
20. （本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,已知 ，
（I） 求 的值；
（II） 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式
（III） 證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有
21. （本小題滿分14分）已知函數(shù)
（I）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（II）試探究函數(shù) 在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)，若存在，請(qǐng)指出有幾個(gè)零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由。
（III）若 ，且 在 上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
一、選擇題：（1—8小題）BADCB BDC
3、本題主要考查向量的數(shù)量積的定義
6、本題主要考查兩個(gè)原理與排列組合知識(shí)，考察考生分析問題的能力。分兩類:一是取出1本畫冊(cè),3本集郵冊(cè),此時(shí)贈(zèng)送方法有 種；二是取出2本畫冊(cè),2本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有 種.故贈(zèng)送方法共有10種.
7、
8、因?yàn)? 為非零整數(shù)）故 或 ，所以點(diǎn) 的相關(guān)點(diǎn)有8個(gè)
二、填空題：
9、 10、10 11、 12、 13、2880 14、2 15、①②
解析：
11、由框圖的算法功能可知，輸出的數(shù)為三個(gè)數(shù)的方差，
則
12、 .
14、曲線 ， ，由圓心到直線的距離 ，故 與 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
15、如圖， ，所以③錯(cuò)
三、解答題：
(說明：能體現(xiàn)公式的就給分)
17、解：（1）由題意知道：
則在這七個(gè)代表性城市的普通民眾中，認(rèn)為“中國(guó)政府需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬”的民眾所占的比例大約為 。………………………………(4分)
（2）提出假設(shè) ：這七個(gè)代表性城市普通民眾的民意與性別無關(guān)。
由數(shù)表知:
則有 以上的把握認(rèn)為這七個(gè)代表性城市普通民眾的民意與性別有關(guān)…………. (7分)
（3）設(shè)抽取的6人中男性有 人，女性有6 人，則 得 ，
所以 6人中男性有1人，女性有5人。………………………………(8分)
則隨機(jī)變量 的所有可能取值為1,2………(9分)
………(10分)
………(11分)
則隨機(jī)變量 的分布列如下表：
1 2
…………………(12分)
18、(方法一)解：（1）證明：在DD 上取一點(diǎn)N使得DN=1，
連接CN，EN，顯然四邊形CFD N是平行四邊形，
∴D F//CN。同理四邊形DNEA是平行四邊形，
∴EN//AD，且EN=AD。又BC//AD，且AD=BC，
∴EN//BC，EN=BC，∴四邊形CNEB是平行四邊形。
∴CN//BE。∴D F//BE。∴E，B，F(xiàn), 四點(diǎn)共面。…………….(5分)
（2）∵ ，∴ BCF∽ MBG。
∴ ，即 。∴MB=1。…………….(7分)
∵AE=1，∴四邊形ABME是矩形。∴EM⊥BB 。…………….(8分)
又∵平面ABB A ⊥平面BCC B ，且EM在平面ABB A 內(nèi)，
∴ 面 。…………….(10分)
（3）∵ 面 ，∴ BF， MH， 。
∴∠MHE就是截面 和面 所成銳二面角的平面角。…………….(12分)
∵∠EMH= ，∴ ，ME=AB=3， BCF∽ MHB。
∴3：MH=BF：1。又∵BF= ，∴MH= 。∴ =
所以 。……………………………………………………………..(14分)
方法二：（向量法）（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，那么
19、解 (Ⅰ) 由已知可得, ,
,即橢圓 的離心率為 ……………(4分)
(Ⅱ) 由圖可知當(dāng)橢圓 在直線 的左下方或 在橢圓內(nèi)時(shí),兩者便無公共點(diǎn)(5分)
① 當(dāng)橢圓 在直線 的左下方時(shí)
將 : 即 代入方程
整理得 ,
由 即 <0解得
∴由橢圓的幾何性質(zhì)可知當(dāng) 時(shí), 橢圓 在直線 的左下方………(7分)
② 當(dāng) 在橢圓內(nèi)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) 在橢圓內(nèi)
∴可得 ,又因?yàn)?, ∴
綜上所述,當(dāng) 或 時(shí),橢圓 與 無公共點(diǎn)………(9分)
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知當(dāng) 時(shí), 橢圓 與 相交于不同的兩個(gè)點(diǎn) ﹑ (10分)
又因?yàn)楫?dāng) 時(shí), 橢圓 的方程為 ,此時(shí)橢圓恰好過點(diǎn) ,
∴① 當(dāng) 時(shí), ﹑ 在線段 上,顯然的,此時(shí) ,當(dāng)且僅當(dāng) ﹑ 分別與 ﹑ 重合時(shí)等號(hào)成立, ………(11分)
②當(dāng) 時(shí),點(diǎn) ﹑ 分別在線段 , 上, 易得 , , ∴ = …(12分)
令 ,則
所以 = 綜上可得面積 的最大值為1. ………(14分)
20、解(Ⅰ) 依題意, ,又 ,所以 ；………(3分)
(Ⅱ) 當(dāng) 時(shí), ,
兩式相減得 ………(5分)
整理得 ,即 ,所以 ………………………(6分)
又因?yàn)?且 所以 …………(7分)
故數(shù)列 是首項(xiàng)為 ,公比為 的等比數(shù)列,
所以 ,所以 .…………………(9分)
(Ⅲ)因?yàn)楫?dāng) 時(shí),
…(10分)
①當(dāng) 時(shí), ；(考生易漏) …………………(11分)
②當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí),令 ( ),
；…………………(12分)
③當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),令 ( ),
此時(shí) …………(13分)
綜上,對(duì)一切正整數(shù) ,有 .…………(14分)
21、解：（1）由 …………(1分)
① 當(dāng) 時(shí)，則 有 函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)遞增；…(2分)
② 當(dāng) 時(shí)， ,
函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 ，單調(diào)減區(qū)間為 。…………(4分)
綜合①②的當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 ；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 ，單調(diào)減區(qū)間為 。………(5分)
（2）函數(shù) 定義域?yàn)?………………………(6分)
又
令
則 ………………………(7分)
故函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增。
………………………(8分)
有由（1）知當(dāng) 時(shí)，對(duì) ，有
即
當(dāng) 且 趨向0時(shí)， 趨向
隨著 的增長(zhǎng)， 的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 的增長(zhǎng)速度，而 的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢。故當(dāng) 且 趨向 時(shí)， 趨向 。得到函數(shù) 的草圖如圖所示………………………(9分)
故①當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
②當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 無零點(diǎn)；………………………(10分)
（3）由（2）知當(dāng) 時(shí)， ，故對(duì) ，
先分析法證明：
要證
只需證
即證
構(gòu)造函數(shù)
故函數(shù) 在 單調(diào)遞增，
，
則 成立。………………………(12分)
①當(dāng) 時(shí)，由（1）知，函數(shù) 在 單調(diào)遞增，則 在 上恒成立。 ………………………(13分)
②當(dāng) 時(shí)，由（1）知，函數(shù) 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，
故當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，則不滿足題意。
綜合①②得，滿足題意的實(shí)數(shù) 的取值范圍 。………………………(14分)
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