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惠州市2014屆高三第二次調(diào)研考試
數(shù) 學 (理科)
本試卷共4頁,21小題,滿分150分?荚囉脮r120分鐘。
注意事項:
1.答卷前,考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
參考公式: 球的體積公式:
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.
1.復數(shù) 的虛部為( )
2.設集合 ,集合 為函數(shù) 的定義域,則 ( )
3.設 是等差數(shù)列 的前 項和, ,則 ( )
4. 按右面的程序框圖運行后,輸出的 應為( )
5.“ ”是“直線 : 與 : 平行”的( )
充分不必要條件 必要不充分條件
充分必要條件 既不充分也不必要條件
6. 一個幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與左視圖均為半徑是 的圓,則這個幾何體的體積是 ( )
7.采用系統(tǒng)抽樣方法從 人中抽取 人做問卷調(diào)查,為此將他們隨機編號為 , ,……, ,分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為 .抽到的 人中,編號落入?yún)^(qū)間 的人做問卷 ,編號落入?yún)^(qū)間 的人做問卷 ,其余的人做問卷 .則抽到的人中,做問卷 的人數(shù)為 ( )
8.已知函數(shù) 且函數(shù) 的零點均在區(qū)間 內(nèi),圓 的面積的最小值是(。
二、填空題(本大題共7小題,分為必做題和選做題兩部分.每小題5分,滿分30分)
(一)必做題:第9至13題為必做題,每道試題考生都必須作答.
9.若向量 則 .
10. 若 ,則 = .
11. 已知變量 滿足約束條件 則 的最大值為 .
12. 若 展開式的常數(shù)項是 ,則常數(shù) 的值為 .
13.已知奇函數(shù) 則 的值為 .
(二)選做題:第14、15題為選做題,考生只選做其中一題,兩題全答的,只計前一題的得分。
14.(坐標系與參數(shù)方程選做題)已知點 是曲線 上任意一點,則點 到直線 的距離的最小值是________.
15.(幾何證明選講選做題)如圖, 是圓 的直徑
延長線上一點, 是圓 的切線, 是切點, ,
, , = .
三、解答題:(本大題共6小題,滿分80分.須寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.)
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的最小正周期和最值;
(2)求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間.
17.(本題滿分12分)
若盒中裝有同一型號的燈泡共 只,其中有 只合格品, 只次品。
(1) 某工人師傅有放回地連續(xù)從該盒中取燈泡 次,每次取一只燈泡,求 次取到次品的概率;
(2) 某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會議室的一只已壞燈泡,每次從中取一燈泡,若是正品則用它更換已壞燈泡,若是次品則將其報廢(不再放回原盒中),求成功更換會議室的已壞燈泡所用燈泡只數(shù) 的分布列和
數(shù)學期望.
18.(本小題滿分14分)
四棱錐 底面是平行四邊形,面 面 ,
, , 分別為 的中點.
(1)求證: ;
(2)求二面角 的余弦值.
19.(本小題滿分14分)
已知數(shù)列 的前 項和是 ,且 .
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)設 ,求適合方程 的正整數(shù) 的值.
20.(本小題滿分14分)
已知左焦點為 的橢圓過點 .過點 分別作斜率為 的橢圓的動弦 ,設 分別為線段 的中點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若 為線段 的中點,求 ;
(3)若 ,求證直線 恒過定點,并求出定點坐標.
21.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(1)當 時,求函數(shù) 在 上的極值;
(2)證明:當 時, ;
(3)證明: .
惠州市2014屆高三第二次調(diào)研考試
一.選擇題:共8小題,每小題5分,滿分40分
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A D A A
1.【解析】因為 。故選B
2.【解析】集合 ,集合B為函數(shù) 的定義域,所以 ,所以 (1,2]。故選D
3【解析】 得 ,即 ,所以 ,選B
4.【解析】第一次循環(huán): ,不滿足條件,再次循環(huán);
第二次循環(huán): ,不滿足條件,再次循環(huán);
第三次循環(huán): ,不滿足條件,再次循環(huán);
第四次循環(huán): ,不滿足條件,再次循環(huán);
第五次循環(huán): ,滿足條件,輸出S的值為40.
故選C
5.【解析】由直線 : 與 : 平行,得 ,所以“ ”是“直線 : 與 : 平行”的充分不必要條件。故選A
6.【解析】由題知該幾何體是挖去 個球的幾何體。所以 .故選D
7.【解析】由系統(tǒng)抽樣的原理知將960人分30組,所以第一組抽450/30=15人,第二組抽(750-450)/30=10,第三組抽32-15-10=7人。故選A
8.【解析】∵f(x)=1+x﹣ ,
∴當x<﹣1或x>﹣1時,f'(x)=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012= >0.
而當x=﹣1時,f'(x)=2013>0
∴f'(x)>0對任意x∈R恒成立,得函數(shù)f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函數(shù)
∵f(﹣1)=(1﹣1)+(﹣ ﹣ )+…+(﹣ ﹣ )<0,f(0)=1>0
∴函數(shù)f(x)在R上有唯一零點x0∈(﹣1,0)
∴b﹣a的最小值為0-(-1)=1.
∵圓x2+y2=b﹣a的圓心為原點,半徑r=
∴圓x2+y2=b﹣a的面積為πr2=π(b﹣a)≤π,可得面積的最小值為π。故選:A
二.填空題:共7小題,每小題5分,滿分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.
9.(-2,-4) 10. 11.1 12.4 13.-8 14. 15.
9.【解析】因為 所以
10.【解析】 得 ,
又
11.【解析】?由可行域知直線過點(1,0)時取得最大值1
12.【解析】 ,由 ,所以 。
13.【解析】因為函數(shù) 為奇函數(shù),所以 ,即 。所以 。
14.【解析】曲線 即 ,表示圓心在(1,0),半徑等于1的圓,直線 =4,即 ,圓心(1,0)到直線的距離等于 ,所以點A到直線 =4的距離的最小值是 。
15.【解析】連結(jié)PO,因為PD是⊙O的切線,P是切點,∠D=30°,所以∠POC=60°,
并且AO=2,∠POA=120°,PO=1
在△POA中,由余弦定理知,
三、解答題:
16. (本小題滿分12分)
解:(1)f(x) …………………………3分
…………………………4分
當 即 時,f(x)取最大值2;…………5分
當 即 時,f(x)取最小值-2…………6分
(2)由 , ………………………8分
得 ………………………10分
∴單調(diào)遞減區(qū)間為 . ………………………12分
17(本小題滿分12分)
解:解:設一次取次品記為事件A,由古典概型概率公式得: ……2 分
有放回連續(xù)取3次,其中2次取得次品記為事件B,由獨立重復試驗得: ………4分
(2)依據(jù)知X的可能取值為1.2.3………5分
且 ………6分 ………7
………8分
則X的分布列如下表:
X 1 2 3
p
……10分
………12分
18(本小題滿分14分)
解: (1) -----2分
,所以 ---4分
---6分
(2)取 的中點 , ---8分
是二面角
的平面角 ----------------------------10分
知
--------------------12分
即二面角 的余弦值為 ---------------14分
解法二 (1)
所以
………………………………2分
建系 令
,
……………………..4分
因為平面PAB的法向量
…………..6分
(2) 設平面PAD的法向量為
, …………8分
…………10分
令 所以 …………12分
平面PAB的法向量 ……13分
,即二面角 的余弦值為 .................14分
說明:其他建系方法酌情給分
19(本小題滿分14分)
(1) 當 時, ,由 ,得 ……………………1分
當 時,∵ , , …………………2分
∴ ,即
∴ …………………………………………5分
∴ 是以 為首項, 為公比的等比數(shù)列.…………………………………6分
故 …………………………………………7分
(2) , ……………9分
…………………………………………11分
…13分
解方程 ,得 …………………………………………14分
20(本小題滿分14分)
解 (1)由題意知 設右焦點
………………2分
橢圓方程為 ………………4分
(2)設 則 ① ②………………6分
②-①,可得 ………………8分
(3)由題意 ,設
直線 ,即 代入橢圓方程并化簡得
………………10分
同理 ………………11分
當 時, 直線 的斜率
直線 的方程為
又 化簡得 此時直線過定點(0, )………13分
當 時,直線 即為 軸,也過點(0, )
綜上,直線過定點(0, ) ………………14分 21(本小題滿分14分)
解 (1)當
……………1分
變化如下表
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
, ……………4分
(2)令
則 ………………………6分
上為增函數(shù)。 ………………8分
…………………9分
(3)由(2)知 …………………10分
令 得, …………12分
…………13分
…………14分
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