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命題：陳千明 審稿與校對：彭啟虎、朱廣智
選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只
有一項是符合題目要求的．）
1. 已知集合，，則=（ ）
A． B． C． D．
2. 已知回歸直線的斜率的估計值是，樣本點的中心為，則回歸直線方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，則
A．B．C． D．、，”是”成立的
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件
．定義某種運算，運算原理如圖所示，則式子的值為（ ）
A．4B．8C．11D．13
在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為，若三點的橫坐標成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，動點滿足且，則點到點的距離大于的概率為（ ）
A． B． C． D．
10．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意都有成立，則（ �。�
A． B.
C. D. 與的大小不確定
二、填空題：（本大共4小題,每小題5分,滿分30分 ）
（一）必做題（11-13題）
11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為___________．
12．假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚青氨是否超標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將800袋牛奶按000，001，…，799進行編號，如果從隨機數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個的樣本個體的編號是 …（下面摘取了隨機數(shù)表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
13．如圖，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點（算第1層），第2層每邊有兩個點，第3層每邊有三個點，依次類推．
試問第層的點數(shù)為___________個；
如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它一共有_____層．
（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）
14（坐標系與參數(shù)方程）已知曲線的極坐標方程分別為，
則曲線與交點的極坐標為 ．
15.（幾何證明選講選做題）如圖，已知、
為⊙的切線，、分別為切點，為⊙
的直徑，，則 ．
三、解答題（本大題共6小題，滿分80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)，其中向量，，．
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，分別是角的對邊，已知，的面積為，求的值．
17. （本小題滿分12分）
對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，所得情況如右
頻率分布直方圖.
（1）圖中縱坐標處刻度不清，根據(jù)圖表
所提供的數(shù)據(jù)還原；
（2）根據(jù)圖表的數(shù)據(jù)按分層抽樣，抽取個元件，
壽命為之間的應(yīng)抽取幾個；
（3）從（2）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個元件，求事件“恰好有一個壽命為，一個壽命為”的概率.
18. （本小題滿分14分）
如圖，已知四棱錐中，平面，底面是直角梯形，
且.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）若是的中點，求三棱錐的體積.
19．（本小題滿分14分）
已知數(shù)列中，.
（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；
（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.
20．（本小題滿分14分）
（1）已知定點、，動點N滿足
（O為坐標原點），，
，，求點P的
軌跡方程.
如圖，已知橢圓的上、下
頂點分別為，點在橢圓上，且異于點
，直線與直線分別交
于點，
（）
（ⅱ）當點運動時，以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？請證明你的結(jié)論．
21．本題滿分14分已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）．
（）如果函數(shù)和有相同的極值點，求的值；
（）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（）記函數(shù)，若函數(shù)有5個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．
12． 13．(1) （3分） (2)（2分）
14. 15. .
三、解答題（本大題共6小題，滿分80分。）
16．（本小題滿分12分）
解：（1）==+1
令
解得
故的單調(diào)遞增區(qū)間為
注：若沒寫，扣一分
（2）由得
而，所以，所以得
又，所以
17. （本小題滿分12分）
解（1）根據(jù)題意：
解得………………………………3分之間的應(yīng)抽取個，根據(jù)分層抽樣有：
………………………5分
所以應(yīng)在壽命為之間的應(yīng)抽取個………………………………7分，一個壽命為”為事件，由（2）知
壽命落在之間的元件有個分別記，落在之間的元件有
個分別記為：，從中任取個球，有如下基本事件：
，，
，共有個基本事件………9分 “恰好有一個壽命為，一個壽命為”有：
，共有個基本事件………10分……………………………11分，另一個壽命為”的概率為
.……………12分解:（1）底面是直角梯形，且,
， ……… 1分
又 ………… 2分
………… 3分
∴∥平面 ………… 4分
（2）， ，
…………… 5分
則
∴ ………… 6分
平面 ，
∴ ………… 7分
又 …………8分
∴平面 ………… 9分
（3）在直角梯形中，過作為矩形， ………… 10分在中可得
故 ……… 11分
∵，
∴的距離是到面距離的一半 ………… 12分
∴ …………14分知，，
又是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
……………………………… 6分
（2），
，
兩式相減得
，
…………………………………………………… 9分
…………………………………………………………10分
若n為偶數(shù)，則……………………………………11分
若n為奇數(shù)，則……………………13分
…………………………………………………… 14分
20. （本小題滿分14分）
解：（）
∵ ∴F1M⊥PN ∴|PM|=|PF1|
∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2＜|F1F2|
由雙曲線的定義可知：點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線.
點P的軌跡方程是 ……………………………………… 4分
（2）（�。�，，令，則由題設(shè)可知，
直線的斜率，的斜率，
又點在橢圓上，所以（），
從而有. …………………… 8分
（ⅱ）設(shè)點是以為直徑的圓上任意一點，則，又易求
得、.
所以、.
故有.又，化簡后得到以
為直徑的圓的方程為.…………11分
令，解得或.………13分
所以以為直徑的圓恒過定點或.…………14分
21．解：（），則，
令，得或，而在處有極大值，∴或；綜上：或．……3分（）假設(shè)存在，即存在，使得
，
當時，又，故，則存在，使得
，……………………………4分 當即時，得，；………………………………5分 當即時，得，……6分無解；綜上：．………………………………7分據(jù)題意有有3個不同的實根，有2個不同的實根，且這
5個實根兩兩不相等．
（�。┯�2個不同的實根，只需滿足；…………8分（ⅱ）有3個不同的實根，
當即時，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；………………………………9分當即時，不符合題意，舍；
當即時，在處取得極大值，；所以；…………………………10分因為（�。áⅲ┮瑫r滿足，故；（注：也對）………11分下證：這5個實根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時成立
若存在使得，
由，即，得，
當時，，不符合，舍去；
當時，既有 ①；
又由，即 ②； 聯(lián)立①②式，可得；
而當時，沒有5個不
同的零點，故舍去，所以這5個實根兩兩不相等．
綜上，當時，函數(shù)有5個不同的零點． …………14分
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