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2014
惠州二模數(shù)學答案(理科)
yggk.net提供免費下載:
廣東省惠州市2014屆高三4月模擬考試
數(shù) 學 試 題 (理科) 2014.04
本試卷共4頁,21小題,滿分150分?荚囉脮r120分鐘。
注意事項:
1.答卷前,考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后,將答題卡一并交回.
參考公式:①如果事件互斥,則
②如果事件相互獨立,則
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.
1.設集合=,則集合的子集的個數(shù)為( )
. . . .
2.不等式的解集為( ).
. .
. .
3.若拋物線的焦點坐標為,則的值為( )
. . . .
4.“”是“函數(shù)的最小正周期為”的( )
。浞植槐匾獥l件 .必要不充分條件
.充要條件 .既不充分也不必要條件
5.如圖,一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為
全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角邊長為1,
那么這個幾何體的體積為 ( )
. . . .
6.程序框圖的運算結果為 ( )
. . . .
7.橢圓與直線交于、兩點,過原點與
線段中點的直線的斜率為,則值為( )
. . . .
8.已知滿足則
的最大值為( )
. . . .
二、填空題(本大題共7小題,分為必做題和選做題兩部分.每小題5分,滿分30分)
(一)必做題:第9至13題為必做題,每道試題考生都必須作答.
9.復數(shù)(為虛數(shù)單位)的虛部等于__________.
10.二項式的展開式的常數(shù)項是__________.(用數(shù)字作答)
11. 已知變量滿足約束條件, 則的最大值是__________.
12.已知為互相垂直的單位向量,, ,且與的夾角為銳角,則實數(shù)的取值范圍是 。
13. 已知數(shù)列是正項等差數(shù)列,若,則數(shù)列也為等差數(shù)列. 類比上述結論,已知數(shù)列是正項等比數(shù)列,若= ,則數(shù)列{}也為等比數(shù)列.
(二)選做題:第14、15題為選做題,考生只選做其中一題,兩題全答的,只計前一題的得分.
14.(極坐標與參數(shù)方程)若圓的方程為:(為參數(shù)),以原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系,則圓的圓心極坐標為_________ .(極角范圍為)
15.(幾何證明選講)如右圖,是圓外一
點,過引圓的兩條割線、,
==,=,則=____________.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
16.(本題滿分12分)
已知函數(shù)
(1)求的值;
(2)若,且,求.
17.(本題滿分12分)
在一個盒子中,放有標號分別為,,的三張卡片,現(xiàn)從這個盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為、,記.
(1)求隨機變量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
18.(本題滿分14分)
如圖,已知正三棱柱—的底面邊長是,是側棱的中點,直線與側面所成的角為.
(1)求此正三棱柱的側棱長;
(2)求二面角的余弦值大小.
19.(本題滿分分)
設等比數(shù)列的前項和為,已知()
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)在與之間插入個數(shù),使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列.
求證:().
20.(本題滿分14分)
平面直角坐標系中,直線截以原點為圓心的圓所得的弦長為
(1)求圓的方程;
(2)若直線與圓切于第一象限,且與坐標軸交于、,當長最小時,求直線 的方程;
(3)設、是圓上任意兩點,點關于軸的對稱點為,若直線、分別交于軸于點()和(),問是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
21.(本題滿分分)
已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果關于x的方程有實數(shù)根,求實數(shù)的取值集合;
(3)是否存在正數(shù),使得關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根?如果存在,求滿足的條件;如果不存在,說明理由.
一.選擇題:共8小題,每小題5分,滿分40分
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A D B B A
1.【解析】集合的子集有、、、.選D.
2.【解析】得:.選B.
3.【解析】.選B.
4.【解析】當時,函數(shù)可化為,故周期;反之,函數(shù)可化為,若周期為,則.選A.
5.【解析】可知該幾何體是三棱錐,底面面積為,高為1,故.選D.
6.【解析】當時,,選B.
7.【解析】設交點分別為、,代入橢圓方程:,由兩式得:,即,,可化簡為:,即.選B.
8.【解析】已知滿足則可化為
;要求最大值,即求的最值,由基本不等式可知
,,當且僅當取等號,即或
時,的最大值為.選A.
二.填空題:共7小題,每小題5分,滿分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15.
9.【解析】=,所以虛部等于.
10.【解析】=,=,當則,常數(shù)項為=.
【解析】先畫出可行域(如圖),是可行域內(nèi)的點
與原點連線的斜率,當直線過點時,取得最大值.
【解析】=,又為銳角,
解得:,.
13. 【解析】由等差數(shù)列的的和,則等比數(shù)列可類比為
﹒的積;對求算術平均值,所以對
﹒求幾何平均值,所以類比結果為.
14.【解析】圓的圓心為,,又圓心在第一象限,故.圓心的極坐標為.
15.【解析】如右圖,是圓外一點,過引圓的兩條割線PAB、PCD,PA = AB =由圓的割線定理,即,化簡為
,解得:或(舍去).
三.解答題
16.(本題滿分12分)
本小題考查三角函數(shù)的化簡與求值。
解(1)依題意得
16. (本題滿分12分)
解:(1) ………………2分
(2) …………4分
…………6分
………8分
…………10分
因為,且,所以 ……11分
所以 ………12分
17.(本題滿分分)
本小題考查利用離散型隨機變量分布列的建立以及期望的求法.
解:(1)、可能的取值為、、,
,,
,且當或時,. ……………3分
因此,隨機變量的最大值為.
有放回抽兩張卡片的所有情況有種,
.
答:隨機變量的最大值為,事件“取得最大值”的概率為. ………4分
(2)的所有取值為.
時,只有這一種情況, ………5分
時,有或或或四種情況,
………6分
時,有或兩種情況. ………7分
,,. …………10分
則隨機變量的分布列為:
………11分
18.(本題滿分分)
本小題考查利用定義法(向量法)求空間幾何中的角度問題。
解:(1)設正三棱柱—的側棱長為.取中點,連.
是正三角形,.………1分
又底面?zhèn)让妫医痪為.
側面.連,則直線與側面所成的角為. ……………4分
在中,,解得. ………5分
此正三棱柱的側棱長為. …………6分
。2)解法一:過作于,連,
側面.
為二面角的平面角. ………9分
在中,,又
, .
又……11分
在中,. …………13分
故二面角的余弦值得大小為. ………14分
。2)解法2:如圖,建立空間直角坐標系.
則.…………8分
設為平面的法向量.
由 得.
取 ………10分
又平面的一個法向量 …………11分
。 ……12分
…………13分
結合圖形可知,二面角的余弦值大小為.……14分
19.(本題滿分分)
本小題考查利用等比數(shù)列的定義及其通項公式求法、和項公式的應用,以及錯位求和與放縮法求證數(shù)列不等式。
解:(1)設等比數(shù)列的首項為,公比為,………………1分
,()………………2分
=
即()………3分
當,得,即,解得:……………4分
………5分
即.………6分
(2)①,則,………8分
………9分
設① 則②………10分
①-②得:2+
=+=………12分
………13分
………14分
20.(本題滿分分)
本小題考查利用待定系數(shù)法直線與圓的方程,以及圓中定值問題的求解。
解:(1)因為點到直線的距離為,…………………1分
所以圓的半徑為,
故圓的方程為.……………2分
。2)設直線的方程為,即,
由直線與圓相切,得,即, ……………4分
,
當且僅當時取等號,此時直線的方程為.………6分
(3)設,,則,,,
直線與軸交點,,
直線與軸交點,,………………10分
………………13分
故為定值2. ………………14分
21.(本題滿分分)
本小題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及用導數(shù)的方法討論方程根的情況。
解:(1)函數(shù)的定義域是
對求導得 …………2分
由 ,由
因此 是函數(shù)的增區(qū)間;
。ǎ1,0)和(0,3)是函數(shù)的減區(qū)間 ………………5分
。2)因為
所以實數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)的值域 …………6分
對
令
∴當x=2時取得最大值,且
又當x無限趨近于0時,無限趨近于無限趨近于0,
進而有無限趨近于-∞.因此函數(shù)的值域是 ,即實數(shù)m的取值范圍是 ………………9分
。3)結論:這樣的正數(shù)k不存在。 ………………10分
下面采用反證法來證明:假設存在正數(shù)k,使得關于x的方程
有兩個不相等的實數(shù)根,則
…………11分
根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域知都是正數(shù)。
又由(1)可知,當時,
∴=,=,
再由k>0,可得
由于 不妨設 ,
由①和②可得
利用比例性質(zhì)得
即 …………13分
由于上的恒正增函數(shù),且
又上的恒正減函數(shù),且∴
∴,這與(*)式矛盾。
因此滿足條件的正數(shù)k不存在 ……………………14分
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