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2014
湛江二模數(shù)學(xué)（文科）答案
本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色筆跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆
將答題卡試卷類型（A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角“試室號(hào)”和“座位號(hào)”欄填寫試室號(hào)、座位號(hào)，將相應(yīng)的試室號(hào)、座位號(hào)信息點(diǎn)涂黑。
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.考試結(jié)束后，將試題與答題卡一并交回。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則
A． B． C． D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
4．一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、和俯視圖形狀都相同，大小均相等，則這個(gè)幾何體不可以是
A．球 B．三棱錐 C．正方體 D．圓柱
5．已知向量，，且，則等于
A． B． C． D．
6．等比數(shù)列中，，，則
A． B． C． D．
7．已知，則、、的大小關(guān)系是
A． B． C． D．
8．下列命題正確的是
A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行
B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行
C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行
D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行
9．已知雙曲線的離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則雙曲
線的漸近線方程為
A． B． C． D．
10．已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組，且恒成立，則的取值范圍是
A．B．C．D．
二、填空題：本大題共5小題．考生作答4小題．每小題5分，滿分20分．
（一）必做題（11～13題）
為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)_______.
12．閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的
值為______________.
13．在長為6的線段上任取一點(diǎn)，現(xiàn)作一矩形，
鄰邊長分別等于線段，的長，則該矩形面積
大于8的概率為_____________.
（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）
14．：的圓心到直線
的距離是_______________.
15．的直徑，
為圓周上一點(diǎn)，，過作圓的切線，則點(diǎn)到
直線的距離___________.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
。
（1）求的最小正周期；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間。
17．（本小題滿分12分）
某工廠有工人1000人，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加
過長期培訓(xùn)（稱為B類工人）。現(xiàn)用分層抽樣的方法（按A類、B類分二層）從該工廠的工人中共抽查
100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處的生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）。
(1) A類工人和B類工人中各抽查多少工人？
(2) 從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2。
①求，，再完成下列頻率分布直方圖；
②分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組
中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）。
18．（本小題滿分14分）
如圖，在四棱臺(tái)中，底面是平行四邊形，，
。
（1）證明：平面；
（2）證明：//平面。
19．（本小題滿分14分）
已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，且分別是等比數(shù)列的，，。
(1) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2) 設(shè)數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)均有成立，求的值。
20．（本小題滿分14分）
如圖，點(diǎn)是橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)，的長軸是圓：
的直徑，是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點(diǎn)，
交橢圓于另一點(diǎn)。
(1) 求橢圓的方程；
(2) 求△面積的最大值及取得最大值時(shí)
直線的方程。
21．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 證明：對(duì)任意的，存在唯一的，使；
(3) 設(shè)（2）中所確定的關(guān)于的函數(shù)為，證明：當(dāng)時(shí)，有。
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C 9.A 10.B
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
16. （本小題滿分12分）
解：(1)∵
………………………………………………….2分
…………………………………………….6分
∴函數(shù)的最小正周期……………………………………….7分
（2）∵函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為。
由，
得……………………………………….10分
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為……………….12分
17. （本小題滿分12分）
解：（1）A類工人和B類工人中分別抽查25名和75名。………………………. 2分
（2），得，
由，得 ……………………………………. 3分
頻率分布直方圖如下：
………………………………………………7分
②
，
…………………………………………………11分
A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及該工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)
值分別為123，133.8，131.1。 ………………………………………12分
18.（本小題滿分14分）
（1）證明：∵在△中，由余弦定理得
, ……2分
∴，因此， …………4分
∵平面，且平面.
∴ ……………………………………6分
又，∴平面…………7分
（2），，設(shè)，連接， …………………………8分
∵四邊形是平行四邊形，∴
由棱臺(tái)定義及知
//,且， ……………10分
∴四邊形是平行四邊形，因此//，
又∵平面，
∴//平面 ………………………………………14分
19. (本小題滿分14分)
解：（1），且成等比數(shù)列，
∴，即， ……………………………………………2分
∴ ………………………………………………4分
又∵∴ …………………………………6分
（2）∵， ①
∴，即，
又， ②
①②得 ……………………………………………9分
∴，∴，……………………………………11分
則
……………………………………………14分
20.（本小題滿分14分）
解：（1） ……………………………………………2分
∴橢圓的方程為 …………………………………………3分
（2）設(shè)
由題意知直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線的方程為。……4分
故點(diǎn)到直線的距離為，又圓：，
∴ ……………………………………………5分
又，∴直線的方程為
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
∴ ………………………………7分
設(shè)△的面積為，則
∴………………12分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào)。
∴當(dāng)時(shí)，△的面積取得最大值，
此時(shí)直線的方程為 ……………………………………………14分
21. （本小題滿分14分）
（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/div>
，令，得…………………………2分
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
極小值
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是……………4分
（2）證明：當(dāng)時(shí)，。設(shè)，令
由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。 …………………………6分
故存在唯一的，使得成立。 …………………………8分
（3）證明：∵，由（2）知，，且，
∴…………………………10分
其中，，要使成立，只需。 …………………………12分
當(dāng)時(shí)，若，則由的單調(diào)性，有，矛盾。
所以，即，從而成立。 ………………………………13分
∴當(dāng)時(shí)，成立。 ………………………………14分
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