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陽(yáng)光高考門(mén)戶全國(guó)首發(fā)：2014
廣州二模文科
數(shù)學(xué)試題及答案（word版）
試卷類(lèi)型：A
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）
2014．4
本試卷共4頁(yè)，21小題， 滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.
4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效.
5．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
參考公式： 錐體的體積公式是,其中是錐體的底面積,是錐體的高.
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若復(fù)數(shù)滿足 i，其中i為虛數(shù)單位，則等于
A．i B．i C． D．
2．已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為
A． B． C． D．
3．命題“對(duì)任意R，都有”的否定是
A．存在R，使得 B．不存在R，使得
C．存在R，使得 D．對(duì)任意R，都有
4. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是
A． B． C． D．
5．有兩張卡片，一張的正反面分別寫(xiě)著數(shù)字與，另一張的正反面分別寫(xiě)著數(shù)字與，
將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是
A． B． C． D．
6．一個(gè)幾何體的三視圖如圖1，則該幾何體
的體積為
A． B．
C． D．
7．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，
若，則正整數(shù)的值為
A． B．
C． D．
8．在△中，，，， 則的值為
A． B． C． D．
9．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段
的中點(diǎn)在軸上，若，則橢圓的離心率為
A． B． C． D．
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
… … … … … …
10．將正偶數(shù)按表的方式進(jìn)行
排列，記表示第行第列的數(shù)，若
，則的值為
A． B．
C． D．
表1
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．
（一）必做題（11～13題）
11．不等式的解集為 .
12. 已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，若，則的值
為 .
13．設(shè)滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)的最大值
為，則的最大值為 .
（二）選做題（14～15題，考生從中選做一題）
14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線為參數(shù)與
圓為參數(shù)相切，切點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的值為 .
15．（幾何證明選講選做題）在平行四邊形中，點(diǎn)在線段上，且
，連接，與相交于點(diǎn)，若△的面積為 cm，則
△的面積為 cm.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，R .
(1) 求函數(shù)的最小正周期和值域；
（2）若，且，求的值.
17．（本小題滿分12分）
學(xué)成績(jī), 制成表所示的頻率分布表.
(1) 求，，的值;
(2) 若從第三, 四, 五組中用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生，并在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2
名與張老師面談，求第三組中至少有名學(xué)生與張老師面談的概率.
組號(hào) 分組 頻數(shù) 頻率
第一組
第二組
第三組
第四組
第五組
合 計(jì)
表2
18．（本小題滿分14分）
如圖，在五面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，∥平面， ，，，是的中點(diǎn).
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求五面體的體積.
圖
19．（本小題滿分14分）
已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為R，且成等比數(shù)列.
（1）求的值；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，R .
（1）若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間N上存在極值，求的最大
值.
( 參考數(shù)值: 自然對(duì)數(shù)的底數(shù)≈)
21．（本小題滿分14分）
已知點(diǎn)在拋物線上，直線R，且與拋物線
相交于兩點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn).
（1）求的值；
（2）若，求直線的方程；
（3）試判斷以線段為直徑的圓是否恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)？若是，求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若
不是，說(shuō)明理由.
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）
說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．
2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．
3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．
答案：
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D C B A D A C
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
11． 12． 13． 14． 15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（1）解：∵，
∴ 函數(shù)的最小正周期為. ……………2分
∵R，， ……………3分
∴. ……………4分
∴ 函數(shù)的值域?yàn)? ……………5分
（2）解法1：∵，
∴. ……………6分
∴. ……………7分
∴ ……………9分
……………11分
. ……………12分
解法2：∵，
∴ . ……………6分
∴. ……………7分
∴. ……………8分
兩邊平方得. ……………10分
∴ . ……………12分
17．（本小題滿分12分）
(1) 解：依題意，得，
解得，，，. ……………3分
(2) 解：因?yàn)榈谌�、四、五組共有60名學(xué)生，用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生，
則第三、四、五組分別抽取名，名，名. …………6分
第三組的名學(xué)生記為，第四組的名學(xué)生記為，第五組的名學(xué)生記為，
則從名學(xué)生中隨機(jī)抽取名，共有種不同取法，具體如下：，，，，，，，，，
，，，，，. ……………8分
其中第三組的名學(xué)生沒(méi)有一名學(xué)生被抽取的情況共有種，具體如下：，，. ……………10分
故第三組中至少有名學(xué)生與張老師面談的概率為. ……………12分
18．（本小題滿分14分）
（1）證明：連接，與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，
∵是的中點(diǎn)，
∴∥，. ……………1分
∵∥平面，平面，平面平面，
∴∥. ……………2分
∵，
∴∥，.
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥，. ……………3分
∵平面，平面，
∴∥平面. ……………4分
（2）證法1：取的中點(diǎn)，連接，則，
由（1）知，∥，且，
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥，. ……………5分
在Rt△中，，又，得.
∴. ……………6分
在△中，，，，
∴.
∴. ……………7分
∴，即.
∵四邊形是正方形，
∴. ……………8分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………9分
證法2：在Rt△中，為的中點(diǎn)，
∴.
在△中，,
∴.
∴. ……………5分
∵∥,
∴. ……………6分
∵平面, 平面, ,
∴平面.
∵平面,
∴. ……………7分
∵四邊形是正方形，
∴. ……………8分
∵平面, 平面, ,
∴平面. ……………9分
（3）解：連接，
在Rt△中，，
∴.
由（2）知平面，且∥，
∴平面. ……………10分
∵平面, ∥，
∴平面. ……………11分
∴四棱錐的體積為. ………12分
∴三棱錐的體積為. ………13分
∴五面體的體積為. ……………14分
19．（本小題滿分14分）
（1）解法1：當(dāng)時(shí)，， ……………1分
當(dāng)時(shí)， ……………2分
. ………3分
∵是等差數(shù)列，
∴，得. ……………4分
又， ……………5分
∵成等比數(shù)列，
∴，即， ……………6分
解得. ……………7分
解法2：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則. ……………1分
∵，
∴，，. ……………4分
∴，，.
∵成等比數(shù)列，
∴， ……………5分
即.
解得. ……………6分
∴. ……………7分
（2）解法1：由（1）得. ……………8分
∵，
∴. ……………9分
∴，①
……………10分
，② ……………11分
�、佗诘�.
……………13分
∴. ……………14分
解法2：由（1）得. ……………8分
∵，
∴. ……………9分
∴.
……………10分
由， ……………11分
兩邊對(duì)取導(dǎo)數(shù)得，. …………12分
令，得.
∴. ……………14分
20．（本小題滿分14分）
（1）解法1：函數(shù)的定義域?yàn)? ……………1分
∵， ∴. ……………2分
∵ 函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴ , 即對(duì)都成立. ……………3分
∴ 對(duì)都成立. ……………4分
當(dāng)時(shí), , 當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí),取等號(hào).
……………5分
∴, 即.
∴的取值范圍為. ……………6分
解法2：函數(shù)的定義域?yàn)? ……………1分
∵， ∴.……………2分
方程的判別式. ……………3分
當(dāng), 即時(shí), ,
此時(shí), 對(duì)都成立,
故函數(shù)在定義域上是增函數(shù). ……………4分
當(dāng), 即或時(shí), 要使函數(shù)在定義域上為增函數(shù), 只需對(duì)都成立.
設(shè), 則得.
故. ……………5分
綜合①②得的取值范圍為. ……………6分
（2）解：當(dāng)時(shí), .
. ……………7分
∵ 函數(shù)在N上存在極值，
∴ 方程在N上有解,
即方程在N上有解. ……………8分
令, 由于, 則,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減. ……………9分
∵, ……………10分
, ……………11分
∴函數(shù)的零點(diǎn). ……………12分
∵方程在 N上有解, N
∴. ……………13分
∵N，
∴的最大值為. ……………14分
21．（本小題滿分14分）
（1）解：∵點(diǎn)在拋物線上， ∴. ……………1分
第（2）、（3）問(wèn)提供以下兩種解法：
解法1：（2）由（1）得拋物線的方程為.
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，依題意，，
由消去得，
解得.
∴. ……………2分
直線的斜率，
故直線的方程為. ……………3分
令，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………4分
同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………5分
∴
. ……………6分
∵， ∴.
由，得，
解得, 或, …………… 7分
∴直線的方程為，或. ……………9分
（3）設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則
. ……………10分
而， ……………11分
∴以線段為直徑的圓的方程為.
展開(kāi)得. ……………12分
令，得，解得或. ……………13分
∴以線段為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn). ……………14分
解法2：（2）由（1）得拋物線的方程為.
設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由解得
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………2分
由消去，得，
即，解得或.
∴，.
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………3分
同理，設(shè)直線的方程為，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為. …………4分
∵點(diǎn)在直線上，
∴.
∴. ……………5分
又，得，
化簡(jiǎn)得. ……………6分
， ……………7分
∵，
∴.
∴.
由，
得，
解得. ……………8分
∴直線的方程為，或. …………… 9分
（3）設(shè)點(diǎn)是以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，
則， ……………10分
得， ……………11分
整理得，. ……………12分
令，得，解得或. ……………13分
∴ 以線段為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn). ……………14分
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