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2014
廣州二模理科
數(shù)學(xué)試題及答案（word版）
陽(yáng)光高考門(mén)戶全國(guó)首發(fā)
試卷類型：A
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）
2014.4
本試卷共4頁(yè)，21小題， 滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.
4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效.
5．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
參考公式：錐體的體積公式是,其中是錐體的底面積,是錐體的高.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若復(fù)數(shù)滿足 i，其中i為虛數(shù)單位，則的虛部為
A． B． C．i D．i
2．若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則的值為
A． B． C． D．
3．命題“對(duì)任意R，都有”的否定是
A．存在R，使得 B．不存在R，使得
C．存在R，使得 D．對(duì)任意R，都有
4. 將函數(shù)R的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)
，則函數(shù)
A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
5．有兩張卡片，一張的正反面分別寫(xiě)著數(shù)字與，另一張的正反面分別寫(xiě)著數(shù)字與，
將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是
A． B． C． D．
6．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段
的中點(diǎn)在軸上，若，則橢圓的離心率為
A． B．
C． D．
7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖1，則該幾何體
的體積為
A． B．
C． D．
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
… … … … … …
8．將正偶數(shù)按表的方式進(jìn)行
排列，記表示第行第列的數(shù)，若
，則的值為
A． B．
C． D．
表1
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
（一）必做題（9～13題）
9．不等式的解集為 .
10．已知的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng)，則正整數(shù)的值為 .
11．已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，若，則的值
為 .
12．設(shè)滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)的最大值
為，則的最大值為 .
13．已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如.設(shè)函數(shù)，
當(dāng)N時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)榧�，則中的元素個(gè)數(shù)為 .
（二）選做題（14～15題，考生從中選做一題）
14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線為參數(shù)與
圓為參數(shù)相切，切點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的值為 .
15．（幾何證明選講選做題）在平行四邊形中，點(diǎn)在線段上，且
，連接，與相交于點(diǎn)，若△的面積為 cm，則
△的面積為 cm.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
16.（本小題滿分12分）
如圖2，在△中，是邊的中點(diǎn)，
且，.
(1) 求的值；
（2）求的值.
圖
17．（本小題滿分12分）
一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取個(gè)作為樣
本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為，，，，
由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖.
（1）求的值；
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的平均值；
（注：設(shè)樣本數(shù)據(jù)第組的頻率為，第組區(qū)間的中點(diǎn)值為，
則樣本數(shù)據(jù)的平均值為.）
（3）從盒子中隨機(jī)抽取個(gè)小球，其中重量在內(nèi)
18．（本小題滿分14分）
如圖，在五面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，∥平面，
，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正切值.
圖
19．（本小題滿分14分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，對(duì)任意N，都有.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
20．（本小題滿分14分）
已知定點(diǎn)和直線，過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1) 求曲線的方程;
(2) 若點(diǎn)的坐標(biāo)為, 直線R，且與曲線相交于兩
點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn). 試判斷以線段為直徑的圓是否恒過(guò)兩個(gè)
定點(diǎn)? 若是，求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.
21．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)R在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)N，且時(shí)，.
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）
說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．
2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．
3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B C D A C
二、填空題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，體現(xiàn)選擇性．共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9． 10． 11． 12． 13．
14． 15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（1）解：在△中，，，
∴. ……………4分
（2）解：由（1）知，，且，
∴. ……………6分
∵是邊的中點(diǎn)，
∴.
在△中，，………8分
解得. ……………10分
由正弦定理得，， ……………11分
∴. ……………12分
17．（本小題滿分12分）
(1) 解：由題意，得， ……………1分
解得. ……………2分
（2）解：個(gè)樣本小球重量的平均值為
�。ǹ耍�. ……………3分
由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)盒子中小球重量的平均值約為克. ……………4分
（3）解：利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球重量在內(nèi)的概率為，則.
……………5分
的取值為， ……………6分
，，
，. ……………10分
∴的分布列為：
……………11分
∴. ……………12分
（或者）
18．（本小題滿分14分）
（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則，
∵∥平面，平面，平面平面，
∴∥，即∥. ……………1分
∵
∴四邊形是平行四邊形. ……………2分
∴∥，.
在Rt△中，，又，得.
∴. ……………3分
在△中，，，，
∴，
∴. ……………4分
∴，即.
∵四邊形是正方形，
∴. ……………5分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………6分
（2）證法1：連接，與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，
取的中點(diǎn)，連接，，
則∥，.
由（1）知∥，且，
∴∥，且.
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥，且 .……………7分
由（1）知平面，又平面，
∴. ……………8分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………9分
∴平面.
∵平面，
∴. ……………10分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………11分
∴是直線與平面所成的角. ……………12分
在Rt△中，. ……………13分
∴直線與平面所成角的正切值為. ……………14分
證法2：連接，與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，
取的中點(diǎn)，連接，，
則∥，.
由（1）知∥，且，
∴∥，且.
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥，且. ……………7分
由（1）知平面，又平面，
∴.
∵，平面，平面，
∴平面.
∴平面. ……………8分
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.
∴，，. ……………9分
設(shè)平面的法向量為，由，，
得，，得.
令，則平面的一個(gè)法向量為. ……………10分
設(shè)直線與平面所成角為，
則. ……………11分
∴，. ……………13分
∴直線與平面所成角的正切值為. ……………14分
19．（本小題滿分14分）
（1）解法1：當(dāng)時(shí)，，，……1分
兩式相減得， ……………3分
即，得. ……………5分
當(dāng)時(shí)，，即. ……………6分
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.
∴. ……………7分
解法2：由，得， ……………1分
整理得，， ……………2分
兩邊同除以得，. ……………3分
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.
∴.
∴. ……………4分
當(dāng)時(shí)，. ……………5分
又適合上式， ……………6分
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為. ……………7分
（2）解法1：∵，
∴. ……………9分
∴，①
，② ……………11分
�、佗诘�.
……………13分
∴. ……………14分
解法2：∵，
∴. ……………9分
∴.
由， ……………11分
兩邊對(duì)取導(dǎo)數(shù)得，. ………12分
令，得.
……………13分
∴ . ……………14分
20．（本小題滿分14分）
（1）解法1：由題意, 點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離,
故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線. ……………1分
∴曲線的方程為. ……………2分
解法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,依題意, 得,
即, ……………1分
化簡(jiǎn)得.
∴曲線的方程為. ……………2分
(2) 解法1: 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，依題意得，.
由消去得，
解得.
∴. ……………3分
直線的斜率，
故直線的方程為. ……………4分
令，得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………5分
同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………6分
∴
. ……………7分
∴. ……………8分
設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則
. ……………9分
∴以線段為直徑的圓的方程為.
……………10分
展開(kāi)得. ……………11分
令，得，解得或. ……………12分
∴以線段為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn). ……………14分
解法2：由（1）得拋物線的方程為.
設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由解得 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. …………3分
由消去，得，
即，解得或. ……………4分
∴，.
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………5分
同理，設(shè)直線的方程為，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為. …………6分
∵點(diǎn)在直線上，
∴.
∴. ……………7分
又，得，
化簡(jiǎn)得. ……………8分
設(shè)點(diǎn)是以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則， ……………9分
得， ……………10分
整理得，. ……………11分
令，得，解得或. ……………12分
∴以線段為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn). ……………14分
21．（本小題滿分14分）
（1）解：∵， ∴.
∵直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)， ……………1分
∴即解得. ……………3分
（2）解法1：由（1）得.
當(dāng)時(shí)，恒成立，即，等價(jià)于.
……………4分
令，則. ……………5分
令，則.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.
……………6分
從而，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故. ……………7分
因此，當(dāng)時(shí)，恒成立，則. ……………8分
∴所求的取值范圍是. ……………9分
解法2：由（1）得.
當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立. ……………4分
令，則.
方程（﹡）的判別式.
�。á。┊�(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，，得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減.
由于，
則當(dāng)時(shí)，，即，與題設(shè)矛盾. …………5分
�。áⅲ┊�(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，.
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，符合題意. ………6分
(ⅲ) 當(dāng)，即時(shí)，方程（﹡）的兩根為，
則時(shí)，，時(shí)，.
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而，函數(shù)在上的最大值為. ………7分
而，
由（ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，
得，從而.
故當(dāng)時(shí)，，符合題意. ……………8分
綜上所述，的取值范圍是. ……………9分
（3）證明：由（2）得，當(dāng)時(shí)，，可化為， …10分
又，
從而，. ……………11分
把分別代入上面不等式，并相加得，
……………12分
……………13分
. ……………14分
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