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2014
廣州二模理科
數(shù)學(xué)試題及答案(word版)
陽(yáng)光高考門(mén)戶全國(guó)首發(fā)
試卷類型:A
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)
2014.4
本試卷共4頁(yè),21小題, 滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.
4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無(wú)效.
5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.
參考公式:錐體的體積公式是,其中是錐體的底面積,是錐體的高.
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)滿足 i,其中i為虛數(shù)單位,則的虛部為
A. B. C.i D.i
2.若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù),則的值為
A. B. C. D.
3.命題“對(duì)任意R,都有”的否定是
A.存在R,使得 B.不存在R,使得
C.存在R,使得 D.對(duì)任意R,都有
4. 將函數(shù)R的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)
,則函數(shù)
A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)
5.有兩張卡片,一張的正反面分別寫(xiě)著數(shù)字與,另一張的正反面分別寫(xiě)著數(shù)字與,
將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù),則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是
A. B. C. D.
6.設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,線段
的中點(diǎn)在軸上,若,則橢圓的離心率為
A. B.
C. D.
7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖1,則該幾何體
的體積為
A. B.
C. D.
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
… … … … … …
8.將正偶數(shù)按表的方式進(jìn)行
排列,記表示第行第列的數(shù),若
,則的值為
A. B.
C. D.
表1
二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.
(一)必做題(9~13題)
9.不等式的解集為 .
10.已知的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng),則正整數(shù)的值為 .
11.已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形,若,則的值
為 .
12.設(shè)滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)的最大值
為,則的最大值為 .
13.已知表示不超過(guò)的最大整數(shù),例如.設(shè)函數(shù),
當(dāng)N時(shí),函數(shù)的值域?yàn)榧,則中的元素個(gè)數(shù)為 .
(二)選做題(14~15題,考生從中選做一題)
14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系中,直線為參數(shù)與
圓為參數(shù)相切,切點(diǎn)在第一象限,則實(shí)數(shù)的值為 .
15.(幾何證明選講選做題)在平行四邊形中,點(diǎn)在線段上,且
,連接,與相交于點(diǎn),若△的面積為 cm,則
△的面積為 cm.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
如圖2,在△中,是邊的中點(diǎn),
且,.
(1) 求的值;
(2)求的值.
圖
17.(本小題滿分12分)
一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球,從中隨機(jī)抽取個(gè)作為樣
本,稱出它們的重量(單位:克),重量分組區(qū)間為,,,,
由此得到樣本的重量頻率分布直方圖,如圖.
(1)求的值;
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計(jì)盒子中小球重量的平均值;
(注:設(shè)樣本數(shù)據(jù)第組的頻率為,第組區(qū)間的中點(diǎn)值為,
則樣本數(shù)據(jù)的平均值為.)
(3)從盒子中隨機(jī)抽取個(gè)小球,其中重量在內(nèi)
18.(本小題滿分14分)
如圖,在五面體中,四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形,∥平面,
,,.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正切值.
圖
19.(本小題滿分14分)
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,對(duì)任意N,都有.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
20.(本小題滿分14分)
已知定點(diǎn)和直線,過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn),記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1) 求曲線的方程;
(2) 若點(diǎn)的坐標(biāo)為, 直線R,且與曲線相交于兩
點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn). 試判斷以線段為直徑的圓是否恒過(guò)兩個(gè)
定點(diǎn)? 若是,求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.
21.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)R在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:當(dāng)N,且時(shí),.
2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)
說(shuō)明:1.參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).
2.對(duì)解答題中的計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分.
3.解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共8小題,每小題5分,滿分40分.
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B C D A C
二、填空題:本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算,體現(xiàn)選擇性.共7小題,每小題5分,滿分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.
9. 10. 11. 12. 13.
14. 15.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
(1)解:在△中,,,
∴. ……………4分
(2)解:由(1)知,,且,
∴. ……………6分
∵是邊的中點(diǎn),
∴.
在△中,,………8分
解得. ……………10分
由正弦定理得,, ……………11分
∴. ……………12分
17.(本小題滿分12分)
(1) 解:由題意,得, ……………1分
解得. ……………2分
(2)解:個(gè)樣本小球重量的平均值為
。ǹ耍. ……………3分
由樣本估計(jì)總體,可估計(jì)盒子中小球重量的平均值約為克. ……………4分
(3)解:利用樣本估計(jì)總體,該盒子中小球重量在內(nèi)的概率為,則.
……………5分
的取值為, ……………6分
,,
,. ……………10分
∴的分布列為:
……………11分
∴. ……………12分
(或者)
18.(本小題滿分14分)
(1)證明:取的中點(diǎn),連接,則,
∵∥平面,平面,平面平面,
∴∥,即∥. ……………1分
∵
∴四邊形是平行四邊形. ……………2分
∴∥,.
在Rt△中,,又,得.
∴. ……………3分
在△中,,,,
∴,
∴. ……………4分
∴,即.
∵四邊形是正方形,
∴. ……………5分
∵,平面,平面,
∴平面. ……………6分
(2)證法1:連接,與相交于點(diǎn),則點(diǎn)是的中點(diǎn),
取的中點(diǎn),連接,,
則∥,.
由(1)知∥,且,
∴∥,且.
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥,且 .……………7分
由(1)知平面,又平面,
∴. ……………8分
∵,平面,平面,
∴平面. ……………9分
∴平面.
∵平面,
∴. ……………10分
∵,平面,平面,
∴平面. ……………11分
∴是直線與平面所成的角. ……………12分
在Rt△中,. ……………13分
∴直線與平面所成角的正切值為. ……………14分
證法2:連接,與相交于點(diǎn),則點(diǎn)是的中點(diǎn),
取的中點(diǎn),連接,,
則∥,.
由(1)知∥,且,
∴∥,且.
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥,且. ……………7分
由(1)知平面,又平面,
∴.
∵,平面,平面,
∴平面.
∴平面. ……………8分
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,.
∴,,. ……………9分
設(shè)平面的法向量為,由,,
得,,得.
令,則平面的一個(gè)法向量為. ……………10分
設(shè)直線與平面所成角為,
則. ……………11分
∴,. ……………13分
∴直線與平面所成角的正切值為. ……………14分
19.(本小題滿分14分)
(1)解法1:當(dāng)時(shí),,,……1分
兩式相減得, ……………3分
即,得. ……………5分
當(dāng)時(shí),,即. ……………6分
∴數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列.
∴. ……………7分
解法2:由,得, ……………1分
整理得,, ……………2分
兩邊同除以得,. ……………3分
∴數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列.
∴.
∴. ……………4分
當(dāng)時(shí),. ……………5分
又適合上式, ……………6分
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為. ……………7分
(2)解法1:∵,
∴. ……………9分
∴,①
,② ……………11分
、佗诘.
……………13分
∴. ……………14分
解法2:∵,
∴. ……………9分
∴.
由, ……………11分
兩邊對(duì)取導(dǎo)數(shù)得,. ………12分
令,得.
……………13分
∴ . ……………14分
20.(本小題滿分14分)
(1)解法1:由題意, 點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離,
故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線. ……………1分
∴曲線的方程為. ……………2分
解法2:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,依題意, 得,
即, ……………1分
化簡(jiǎn)得.
∴曲線的方程為. ……………2分
(2) 解法1: 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,依題意得,.
由消去得,
解得.
∴. ……………3分
直線的斜率,
故直線的方程為. ……………4分
令,得,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………5分
同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………6分
∴
. ……………7分
∴. ……………8分
設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,
則
. ……………9分
∴以線段為直徑的圓的方程為.
……………10分
展開(kāi)得. ……………11分
令,得,解得或. ……………12分
∴以線段為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn). ……………14分
解法2:由(1)得拋物線的方程為.
設(shè)直線的方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,
由解得 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. …………3分
由消去,得,
即,解得或. ……………4分
∴,.
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………5分
同理,設(shè)直線的方程為,
則點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為. …………6分
∵點(diǎn)在直線上,
∴.
∴. ……………7分
又,得,
化簡(jiǎn)得. ……………8分
設(shè)點(diǎn)是以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn),則, ……………9分
得, ……………10分
整理得,. ……………11分
令,得,解得或. ……………12分
∴以線段為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn). ……………14分
21.(本小題滿分14分)
(1)解:∵, ∴.
∵直線的斜率為,且過(guò)點(diǎn), ……………1分
∴即解得. ……………3分
(2)解法1:由(1)得.
當(dāng)時(shí),恒成立,即,等價(jià)于.
……………4分
令,則. ……………5分
令,則.
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故.
……………6分
從而,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,
故. ……………7分
因此,當(dāng)時(shí),恒成立,則. ……………8分
∴所求的取值范圍是. ……………9分
解法2:由(1)得.
當(dāng)時(shí),恒成立,即恒成立. ……………4分
令,則.
方程(﹡)的判別式.
。á。┊(dāng),即時(shí),則時(shí),,得,
故函數(shù)在上單調(diào)遞減.
由于,
則當(dāng)時(shí),,即,與題設(shè)矛盾. …………5分
。áⅲ┊(dāng),即時(shí),則時(shí),.
故函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,符合題意. ………6分
(ⅲ) 當(dāng),即時(shí),方程(﹡)的兩根為,
則時(shí),,時(shí),.
故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
從而,函數(shù)在上的最大值為. ………7分
而,
由(ⅱ)知,當(dāng)時(shí),,
得,從而.
故當(dāng)時(shí),,符合題意. ……………8分
綜上所述,的取值范圍是. ……………9分
(3)證明:由(2)得,當(dāng)時(shí),,可化為, …10分
又,
從而,. ……………11分
把分別代入上面不等式,并相加得,
……………12分
……………13分
. ……………14分
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