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第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1、已知復(fù)數(shù) ，則 等于（ ）
A． B． C． D．
2、設(shè)集合 ，則（ ）
A． B． C． D．
3、給定函數(shù)① ② ③ ④ ，其中在區(qū)間 上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4、在 中，若 ，則 的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5、為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（10分制）的頻率分布直方圖如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為 ，
眾數(shù) ，平均數(shù)為 ，則（ ）
A． B．
C． D．
6、某電視臺(tái)的一個(gè)綜藝欄目對(duì)六個(gè)不同的節(jié)目排演出順序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，則不同的排法共有（ ）
A．192種 B．216種 C．240種 D．288種
7、若函數(shù) 的圖象如圖所示，則 的范圍為（ ）
A． B． C． D．
8、設(shè)雙曲線 的離心率為2，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的交點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
9、已知函數(shù) ，若函數(shù) 在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10、若函數(shù) ，并且 ，則下列各結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卷的橫線上。.
11、如圖，正方體 的棱長(zhǎng)為1，E為棱 上的點(diǎn)，
為AB的中點(diǎn)，則三棱錐 的體積為
12、已知 滿足不等式組 ，則 的最大值
與最小值的比為
13、定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù) 滿足 ，
且
現(xiàn)有以下三種敘述①8是函數(shù) 的一個(gè)周期；
② 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱；③ 是偶函數(shù)。
其中正確的序號(hào)是
14、執(zhí)行如圖中的程序框圖，如果輸入的 ，則輸出的 所在區(qū)間是
15、在實(shí)數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“ ”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”類似的，我們?cè)谄矫嫦蛄?上也可以定義一個(gè)稱“序”的關(guān)系，記為“ ”，定義如下：對(duì)于任意兩個(gè)向量 ，“ ”當(dāng)且僅當(dāng)“ ”或“ 且 ”，按上述定義的關(guān)系“ ”，給出如下四個(gè)命題：
①若 ，則
②若 ，則 ；
③對(duì)于 ，則對(duì)于任意 ；
④對(duì)于任意向量 ，若 ，則
其中真命題的序號(hào)為
三、解答題：本大題共6小題，滿分75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
16、（本小題滿分12分）
已知函數(shù) ，且當(dāng) 時(shí)， 的最小值為2，
（1）求 的值，并求 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù) 的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的 ，再Ian個(gè)所得的圖象向右平移 個(gè)單位，得到函數(shù) 的圖象，求方程 在區(qū)間 上所有根之和。
17、（本小題滿分12分）
如圖，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF沿對(duì)角線BE翻折，連接AC、FD，形成如圖所示的多面體，且
（1）證明：平面ABEF 平面BCDE；
（2）求平面ABC與平面DEF所成的二面角（銳角）的余弦值。
18、（本小題滿分12分）
已知一個(gè)袋子里裝有只有顏色不同的6個(gè)小球，其中白球2個(gè)，黑球4個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取球，每次只取一球。
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有白球或取球次數(shù)達(dá)到五次就終止游戲，記游戲結(jié)束時(shí)一共取球X次，求隨機(jī)變量X的分布列與期望。
19、（本小題滿分12分）
數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，且
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列 滿足： ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（3）令 ，求數(shù)列 的 n項(xiàng)和 。
20、（本小題滿分13分）
已知函數(shù) （其中 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）， 為 導(dǎo)函數(shù)。
（1）當(dāng) 時(shí)，其曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；
（2）若 時(shí)， 都有解，求 的取值范圍；
（3）若 ，試證明：對(duì)任意 恒成立。
21、（本小題滿分14分）
已知焦點(diǎn)在 軸上的橢圓 的離心率為 ， 分別為左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作直線交橢圓 于 （ 在 兩點(diǎn)之間）兩點(diǎn)，且 ， 關(guān)于原點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)為 。
（1）求橢圓 的方程；
（2）求直線 的方程；
（3）過(guò) 任作一直線交過(guò) 三點(diǎn)的圓于 兩點(diǎn)，求 面積的取值范圍。
一、選擇題
B D B A D B D C D D
二、填空題
11. 12. 2∶1 13. ①②③ 14. 15. ①②③
三、解答題：
16. 解：（1）函數(shù) ，…2分
， ，得 ；…4分
即 ，由題意得 ，
得 ，
所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．…6分
（2）由題意得 ，又由 得 ，…9分
解得 ， 即 ，
，故所有根之和為 ．……12分
17.（１）證明：正六邊形ABCDEF中，連接AC、BE，交點(diǎn)
為G，易知 ，且 ，
在多面體中，由 ，知 ，
故 …………………………………………2分
又 平面 ，故 平面 ，………………..5分
又 平面ABEF，所以平面ABEF 平面BCDE．…………6分
（2）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．
由 ， ， ，
則
.
， ， ， ．..8分
設(shè)平面ABC的法向量為 ，
則 ，即 ，令 ，得 ，
同理，可得平面DEF的一個(gè)法向量為 ，………………….10分
所以 ，
所以平面ABC與平面DEF所成二面角（銳角）的余弦值為 ．……….12分
18. 解：（1）記事件 表示“第i次取到白球”（ ），事件 表示“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”，則：
. ……2分
， ……………………………………4分
，……………………………………………………5分
另解：記隨機(jī)變量 表示連續(xù)取球四次，取得白球的次數(shù). 易知 ……2分
則 ，..5分
（2）易知：隨機(jī)變量X的取值分別為2，3，4，5 ……6分
，
， ， ……10分
∴隨機(jī)變量X的分布列為：
X 2 3 4 5
P
……………………………………………………11分
∴隨機(jī)變量X的期望為： . …………12分
19. 解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，
a1＝2滿足該式，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n…………3分
（2） ，① ②
②－①得， ，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
又當(dāng)n=1時(shí)，b1=8，
所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分
（3） ＝n(3n＋1)＝n•3n＋n，…………………8分
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 則3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，
① －②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝ －n×3n＋1
∴ ， ……………………………………….10分
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和． . ……12分
20. 解:（1）由 得 , ,..1分
所以曲線y= 在點(diǎn)(1, )處的切線斜率為 ,
, 曲線y= 切線方程為 ；
即 . …………………………………………………………4分
（2）由 得 ，令 ,
, ,
所以 在(0,1]上單調(diào)遞減,又當(dāng)x趨向于0時(shí)， 趨向于正無(wú)窮大，故
即 ； ……………………7分
（3）由 ，得 , …………………..8分
令 , 所以 ，
因此,對(duì)任意 , 等價(jià)于 ，
由 , .得 ，
因此,當(dāng) 時(shí), , 單調(diào)遞增; 時(shí), , 單調(diào)遞減
所以 的最大值為 ,故 ，…………10分
設(shè) ,
,所以 時(shí) , 單調(diào)遞增, ,
故 時(shí), ,即 ，……………………12分
所以 .
因此,對(duì)任意 , 恒成立．………………………13分
21. 解.（1） 橢圓D； 的離心率為 ，
, 解之得m=2，…………………………………………………………2分
所以橢圓的方程為； ; ………………………………………………….3分
（2）設(shè) ，則A, B的坐標(biāo)滿足方程組 ,
把（2）式代入（1）式化簡(jiǎn)得； ，……….5分
所以 ,
又因?yàn)? , 所以 , ,
所以 ，即 ,……………7分
解 , 得 ,…………….(3)
把（3）式代入 ，解之得
所以直線PA的方程為 ；………………….9分
（3）由（2）知 ，即 （或 ），
因A與C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以 （或 ），
設(shè)過(guò) 三點(diǎn)的圓為 ，
則 解之得 ，
所以圓的方程為 ，………………….10分
設(shè)過(guò)F2的直線EF為； ，則 ，
原點(diǎn)O到直線EF的距離為 ，
所以 ，………………………12分
令 ，則 ，所以 ，
所以 = = ，
所以 ．……………………………14分
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