福建省2013年高考理科數(shù)學壓軸卷及其答案下載

學習頻道    來源: yggk.net      2024-07-20         

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福建省2013年高考理科數(shù)學壓軸卷答案下載

福建省福建師大附中2013屆5月高考三輪模擬試卷
數(shù)學理科試題
注意事項:
1.本科考試分試題卷和答題卷,考生須在答題卷上作答,答題前,請在答題卷的密封線內填寫學校、班級、準考證號、姓名;
2.本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,全卷滿分150分,考試時間120分鐘.
參考公式:
 
 
第Ⅰ卷 (選擇題  共50分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的,把答案填在答題卡的相應位置.)
1.復數(shù) (是虛數(shù)單位)在復平面內對應的點是位于(    )
A.第一象限   B.第二象限  C.第三象限  D.第四象限
2.設 ,則“ ”是“直線 與直線 平行”的(    )
A.充分不必要條件                     B.必要不充分條件
C.充要條件                           D.既不充分也不必要條件
3.已知集合 ,  ,且 ,則 (    )
A.  4        B. 5           C. 6          D. 7
4.設z=x+y,其中x,y滿足 當Z的最大值為6時, 的值為(    )  
  A.3      B.4         C.5         D.6
5.閱讀如下圖所示的程序框圖,運行相應的程序,若輸入 ,則輸出 的值為(    )
A.  12    B.  6    C.  3     D.  0
6. 的三個內角 對應的邊分別 ,且 成等差數(shù)列,則角 等于(      )
A .      B.      
C.        D.   
7.設 ,則二項式 展開式中的 項的系數(shù)為(    )  
 A .      B.  20   
 C.     D.  160
8.如下圖所示,在棱長為2的正方體 內(含正方體表面)任取一點 ,則 的概率 (    ) 
A.            B.          C.             D.  
9.已知平面上的線段及點 ,在上任取一點 ,線段 長度的最小值稱為點 到線段的距離,記作 .設是長為2的線段,點集 所表示圖形的面積為(    )
A.           B.           C.                 D. 
10.如下圖所示,有三根針和套在一根針上的 個金屬片,按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。
(1) 每次只能移動一個金屬片;
(2) 在每次移動過程中,每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。
若將 個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數(shù)記為 ,則 =(    )
A. 33         B. 31       C.17        D. 15
 
二、填空題:本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在答題卡的相應位置.
11.在樣本頻率分布直方圖中,共有11個小長方形,若中間一個小長方形的面積等于其它10個長方形的面積和的 ,且樣本容量為160,則中間一組的頻數(shù)為         
12.在平面直角坐標系 中,若雙曲線 的焦距為8,則           
13.如圖,矩形 的一邊 在 軸上,另外兩個頂點 在函數(shù) 的圖象上.若點 的坐標為  且  ,記矩形  
 的周長為 ,則                           
14.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為          
 
15.我國齊梁時代的數(shù)學家祖暅(公元5-6世紀)提出了一條原理:“冪勢既同,則積不容異.”這句話的意思是:夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的任何平面所截,如果截得的兩個截面的面積總是相等,那么這兩個幾何體的體積相等.
設:由曲線 和直線 , 所圍成的平面圖形,繞 軸旋轉一周所得到的旋轉體為 ;由同時滿足 , , , 的點 構成的平面圖形,繞 軸旋轉一周所得到的旋轉體為 .根據(jù)祖暅原理等知識,通過考察 可以得到 的體積為             
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答寫在答題卡相位置,應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分13分)
已知 為坐標原點,對于函數(shù) ,稱向量 為函數(shù) 的伴隨向量,同時稱函數(shù) 為向量 的伴隨函數(shù).
(Ⅰ)設函數(shù) ,試求 的伴隨向量 的模;
(Ⅱ)記 的伴隨函數(shù)為 ,求使得關于 的方程 在 內恒有兩個不相等實數(shù)解的實數(shù)的取值范圍. 
17.(本小題滿分13分)
某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷,凡在該超市購物滿300元的顧客,將獲得一次摸獎機會,規(guī)則如下:
獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球,1個黃球,1個白球和1個黑球.顧客不放回的每次摸出1個球,若摸到黑球則停止摸獎,否則就要將獎盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球獎勵10元,摸到白球或黃球獎勵5元,摸到黑球不獎勵.
(Ⅰ)求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率;
(Ⅱ)記 為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額,求隨機變量 的分布列和數(shù)學期望.
18.(本小題滿分13分)
如圖, 是半圓 的直徑, 是半圓 上除 、 外的一個動點, 垂直于半圓 所在的平面,  ∥ , , , .
⑴證明:平面 平面 ;
⑵當三棱錐 體積最大時,求二面
角 的余弦值.
 
19.(本小題滿分13分)
已知圓 ,橢圓 .
(Ⅰ)若點 在圓 上,線段 的垂直平分線經過橢圓的右焦點,求點 的橫坐標;
(Ⅱ)現(xiàn)有如下真命題:
“過圓 上任意一點 作橢圓 的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”;
“過圓 上任意一點 作橢圓 的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”.
據(jù)此,寫出一般結論,并加以證明.
20.(本小題滿分14分)已知函數(shù) , ( )
(1)若函數(shù) 存在極值點,求實數(shù)b的取值范圍;
(2)求函數(shù) 的單調區(qū)間;
(3)當 且 時,令 , ( ), ( )為曲線y= 上的兩動點,O為坐標原點,能否使得 是以O為直角頂點的直角三角形,且斜邊中點在y軸上?請說明理由。
21.本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每題7分,請考生任選2題做答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.
(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A= 有一個屬于特征值1的特征向量 .
  (Ⅰ) 求矩陣A;
  (Ⅱ) 若矩陣B= ,求直線 先在矩陣A,再在矩陣B的對應變換作用下的像的方程.  
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程.
已知曲線 的極坐標方程是 ,直線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線 的極坐標方程化為直角坐標方程;
(Ⅱ)設直線與 軸的交點是 , 是曲線 上一動點,求 的最大值.
(3)(本小題滿分7分)選修 :不等式選講
(I)試證明柯西不等式:  
(II)已知 ,且 ,求 的最小值.
福建省福建師大附中2013屆5月高考三輪模擬試卷
數(shù)學理科試題參考答案
1-5 DCDAB 6-10 BCADB   11、32  12、3  13、216   14.   15.     
16.解:(Ⅰ)∵  ,  ……… 2分
∴ .                ………………………… 4分
故 .         ……………………… 5分
(Ⅱ)由已知可得  ,………………7分
∵ ,  ∴ ,w    W w . 5 y k j.c o M
故 .         ……………………… 9分
∵當 時,函數(shù) 單調遞增,且 ;
當 時,函數(shù) 單調遞減,且 .
∴使得關于 的方程 在 內恒有兩個不相等實數(shù)解的實數(shù)的取值范圍為 .     … 13分
17.(Ⅰ)解:設“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件 ,         
則  ,
故1名顧客摸球3次停止摸獎的概率為 .               ………………4分
(Ⅱ)解:隨機變量 的所有取值為 .            ………………5分
 ,                 ,
 ,     , 
 .                        ………………10分
所以,隨機變量 的分布列為: 
                                                           ………11分
 .         ………………13分
18.(Ⅰ)證明:因為 是直徑,所以              ………………1分,
因為 平面 ,所以                        ………………2分,
因為 ,所以 平面                   ………………3分
因為 ,  ,所以 是平行四邊形, ,所以 平面                                                      ………………4分,
因為 平面 ,所以平面 平面            ………………5分
(Ⅱ)依題意,              ………………6分,
由(Ⅰ)知  
  ,當且僅當 時等號成立                               ………………8分
如圖所示,建立空間直角坐標系,則 , ,  ,則 , , ,              ……………………9分
設面 的法向量為 , ,即   ,                             ……………………10分
設面 的法向量為 ,  ,即   ,                                  ……………12分
可以判斷 與二面角 的平面角互補 二面角 的余弦值為 。                                    ……………………13分
19. 解法一:
(Ⅰ)設點 ,則 , (1)    ……………………1分
設線段 的垂直平分線與 相交于點 ,則  ,……2分
橢圓 的右焦點 , ………………3分
 ,  ,   ,
  ,  (2)…………………………4分
由(1),(2),解得  , 點 的橫坐標為 . ……………5分
(Ⅱ)一般結論為:
“過圓 上任意一點 作橢圓 的兩條切線,則這兩條切線互相垂直.”  ……………………………6分
證明如下:
(ⅰ)當過點 與橢圓 相切的一條切線的斜率
不存在時,此時切線方程為 ,w   W  w .5 y  k j.c O m
 點 在圓 上 ,  ,
 直線 恰好為過點 與橢圓 相切的另一條切線
 兩切線互相垂直.………………………………7分
(ⅱ)當過點 與橢圓 相切的切線的斜率存在時,
可設切線方程為 ,
由 得  ,
整理得 ,……………8分
 直線與橢圓相切,
  ,
整理得 ,………………………9分
  ,  ………………………10分
   點 在圓 上,  ,   ,  , 兩切線互相垂直,
綜上所述,命題成立.…………………………………………………13分
解法二:
(Ⅰ)設點 ,則 , (1)……………………………1分
橢圓 的右焦點 ,………………………………2分
 點 在線段 的垂直平分線上,    ,
   ,   , (2)……4分
由(1),(2),解得 ,  點 的橫坐標為 .……………5分
(Ⅱ)同解法一.
20. 解:(Ⅰ) ,若 存在極值點,則 有兩個不相等實數(shù)根。所以 ,                 ……………2分
解得                                                 ……………3分
(Ⅱ)                                      ……………4分
當 時, ,函數(shù) 的單調遞增區(qū)間為 ;……………5分
當 時, ,函數(shù) 的單調遞減區(qū)間為 ,單調遞增區(qū)間為 。
……………7分
(Ⅲ) 當 且 時, 假設使得 是以O為直角頂點的直角三角形,且斜邊中點在y軸上。則 且 。……………8分
不妨設 。故 ,則 。 , 該方程有解
………………………………………………9分
當 時,則  ,代入方程 得 即 ,而此方程無實數(shù)解;                 …………………………10分
當 時, 則 ;             …………11分
當 時,則  ,代入方程 得 即 ,                   …………………………………12分
設 ,則 在 上恒成立。  在 上單調遞增,從而 ,則值域為 。
 當 時,方程 有解,即方程 有解。…………13分
綜上所述,對任意給定的正實數(shù) ,曲線上總存在 兩點,使得 是以O為直角頂點的直角三角形,且斜邊中點在y軸上。………………………………14分
21.(1)【解析】(Ⅰ)由已知得 ,所以  …………2分
    解得   故A= .   ……………………………………………………3分
 (Ⅱ)  BA=  = ,因為矩陣BA 所對應的線性變換將直線變成直線(或點),所以可取直線 上的兩點(0,1),(-1,2),                               …………………………………………4分
 , ,由得:(0,1),(-1,2)在矩陣A所對應的線性變換下的像是點(1,-3),(-1,-1)  ……………………………6分
從而直線 在矩陣BA所對應的線性變換下的像的方程為 .…………7分
(2)解:(Ⅰ)曲線 的極坐標方程可化為 ,
又 ,
所以曲線 的直角坐標方程為  …………………3分
   (Ⅱ)將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標方程,得 ,…………4分
    令 ,得 ,即 點的坐標為(2,0). 又曲線 為圓,圓 的圓心坐標為(0,1),
半徑 ,則 ,……………………………………………………6分           
所以 .即 的最大值為 ……………………7分
(3)(Ⅰ)證明:左邊= ,
          右邊= ,
    左邊 右邊  ,         ………………2分
          左邊 右邊  ,    命題得證   .    ………………………3分
(Ⅱ)令 ,則 ,                  
     ,       ,                                   
      ,  ………………………4分
   由柯西不等式得: ,   ………………………5分
當且僅當 ,即 ,或 時………6分
     的最小值是1 .   ……………………7分
解法2: ,  ,                    
 ,   ………………4分
 ,        ………………………5分
當且僅當 ,或 時    …………………6分
       的最小值是1.      ………………7分
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