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數(shù)學(xué)壓軸卷試題
福建省2013年高考文科
數(shù)學(xué)壓軸卷答案下載
福建省2013屆高考壓軸卷
科試題
參考公式:
錐體體積公式 ,其中 為底面面積, 為高
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知函數(shù) 定義域為 , 定義域為 ,則 (****)
A. B. C. D.
2. 若 ,則下列不等式成立的是(****)
A. B. C. D.
3.若函數(shù) 是函數(shù) 的反函數(shù),則 的值是(****)
A. B. C. D.
4. 設(shè)a,β分別為兩個不同的平面,直線l a,則“l丄β”是“a丄β成立的(****)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.要得到函數(shù) 的圖象,只要將函數(shù) 的圖象(****)
A.向左平移1個單位 B.向右平移1個單位
C.向左平移 個單位 D.向右平移 個單位
6.已知變量x,y滿足約束條件 則z=x+y的最大值為(****)
A.3 B.4 C.5 D.6
7.已知函數(shù) ,則 是(****)
A.非奇非偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增
B.奇函數(shù),且在 上單調(diào)遞增
C.非奇非偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減
D.偶函數(shù),且在 上單調(diào)遞減
8. 在右側(cè)程序框圖中,輸入 ,按程序運行后輸出的結(jié)果是(****)
A.3 B.4 C.5 D.6
9.若雙曲線 與直線 無交點,則離心率 的取值范圍(****)
A. B. C. D.
10.若 為 內(nèi)一點,且 ,在 內(nèi)隨機撒一顆豆子,則此豆子落在 內(nèi)的概率為(****)
A. B. C. D.
11.如圖,矩形 的一邊 在 軸上,另外兩個頂點 在函數(shù)
的圖象上.若點 的坐標為
,記矩形 的周長
為 ,則 (****)
A.208 B. 216 C. 212 D.220
12.已知 表示大于 的最小整數(shù),例如 .下列命題
①函數(shù) 的值域是 ;②若 是等差數(shù)列,則 也是等差數(shù)列;
③若 是等比數(shù)列,則 也是等比數(shù)列;④若 ,則方程 有3個根.
正確的是(****)A.②④ B.③④ C.①③ D.①④
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置.
13.已知復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點分別為點A、B,則線段AB的中點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是****
14.某班共有52人,現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號,用系統(tǒng)抽樣的方法,抽取一個容量為4的樣本,已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中,那么樣本中還有一個同學(xué)的學(xué)號是****
15.已知平面上的線段及點 ,在上任取一點 ,線段 長度的最小值稱為點 到線段的距離,記作 .設(shè)是長為2的線段,點集 所表示圖形的面積為****
16.設(shè) 為正整數(shù),若 和 除以 的余數(shù)相同,則稱 和 對 同余.記 ,已知 , ,則 的值可以是**** (寫出以下所有滿足條件的序號)①1007;②2013;③3003;④6002
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.把解答過程填寫在答題卡的相應(yīng)位置.
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(1)求函數(shù) 的最小正周期和值域;
(2)已知 的內(nèi)角 所對的邊分別為 ,若 ,且 求 的面積.
18. (本小題滿分12分)
已知點(1,2)是函數(shù) 的圖象上一點,數(shù)列 的前n項和 .
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)將數(shù)列 前30項中的第3項,第6項,…,第3k項刪去,求數(shù)列 前30項中剩余項的和.
19.(本小題滿分12分)
市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就讀的小學(xué)在丙地,三地之間的道路情況如圖所示.假設(shè)工作日不走其它道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機的.同一條道路去程與回程是否堵車互不影響.假設(shè)李生早上需要先開車送小孩去丙地小學(xué),再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班,
(1)寫出李生可能走的所有路線;(比如DDA表示走D路從甲到丙,再走D路回到甲,然后走A路到達乙);
(2)假設(shè)從丙地到甲地時若選擇走道路D會遇到擁堵,并且從甲地到乙地時若選擇走道路B也會遇到擁堵,其它方向均通暢,但李生不知道相關(guān)信息,那么從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率是多少?
20.(本小題滿分14分)
如圖, 是半圓 的直徑, 是半圓 上除 、 外的一個動點, 平面 , , , , .
⑴證明:平面 平面 ;
⑵試探究當(dāng) 在什么位置時三棱錐 的
體積取得最大值,請說明理由并求出這個最大值.
21.(本小題滿分12分)
如圖,已知拋物線 的焦點在拋物線 上.
(1)求拋物線 的方程及其準線方程;
(2)過拋物線 上的動點 作拋物線 的兩條切線 、 , 切點為 、 .若 、 的斜率乘積為 ,且 ,求 的取值范圍.
22.(本小題滿分14分)
已知函數(shù) ,
(1)當(dāng) 且 時,證明:對 , ;
(2)若 ,且 存在單調(diào)遞減區(qū)間,求 的取值范圍;
(3)數(shù)列 ,若存在常數(shù) , ,都有 ,則稱數(shù)列 有上界。已知 ,試判斷數(shù)列 是否有上界.
1-5 BCCAC 6-10 DACBA 11-12 BD
13.3-i 14. 16 15. 16.①④
17.解:(1)
所以函數(shù) 的最小正周期 ,值域為
(備注:當(dāng) 時,求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和值域? , ,令 ,則
函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,單調(diào)減區(qū)間為
, ,
函數(shù) 的值域為 )
, , , , ,
,由正弦定理得 ,
18.解:(Ⅰ)把點(1,2)代入函數(shù) ,得 . 當(dāng) 時, 當(dāng) 時, 經(jīng)驗證可知 時,也適合上式, .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知數(shù)列 為等比數(shù)列,公比為2,故其第3項,第6項,…,第30項也為等比數(shù)列,首項 公比 為其第10項
∴此數(shù)列的和為 又數(shù)列 的前30項和為 ∴所求剩余項的和為
19.⑴李生可能走的所有路線分別是:DDA,DDB,DDC,DEA,DEB,DEC,EEA,EEB, EEC,EDA,EDB,EDC共12種情況。⑵從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的走法有:DEA,DEC,EEA,EEC共4種情況,所以從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率 .
20.證明與求解:⑴因為 是直徑,所以 ,因為 平面 , ,因為 ,所以 平面
因為 ,又因為 ,所以四邊形 是平行四邊形,所以 ,所以 平面,因為 平面 ,所以平面 平面
⑵依題意, ,
由⑴知 ,
, ,等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立,所以當(dāng) 為半圓弧中點時三棱錐 的
體積取得最大值,最大值為
(備注:此時, , ,設(shè)三棱錐 的高為 ,則 , ).
21.解:(1) 的焦點為 ,
所以 , .
故 的方程為 ,其準線方程為 .
(2)任取點 ,設(shè)過點P的 的切線方程為 .
由 ,得 .
由 ,化簡得 ,
記 斜率分別為 ,則 ,
因為 ,所以
所以 ,
所以 .
22.解:⑴當(dāng) 且 時,設(shè) , , ……1分,解 得 。
當(dāng) 時, , 單調(diào)遞增;當(dāng) 時, , 單調(diào)遞減,所以 在 處取最大值,即 , , 即
(2)若 , =
所以
因為函數(shù) 存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以 在 上有解
所以 在 上有解
所以 在 上有解,即 使得
令 ,則 ,研究 ,當(dāng) 時,
所以
(3)數(shù)列 無上界
,設(shè) , ,由⑴得 , ,所以 , ,取 為任意一個不小于 的自然數(shù),則 ,數(shù)列 無上界。
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