福建師大附中2013年5月高考三模理科數(shù)學(xué)考試試題及其免費(fèi)答案下

學(xué)習(xí)頻道    來源: 蓮山課件      2024-07-20         

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福建師大附中2013年5月高考三模理科數(shù)學(xué)考試試題及其免費(fèi)答案下載

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福建省福建師大附中2013屆5月高考三輪模擬試卷
數(shù)學(xué)理科試題
注意事項(xiàng):
1.本科考試分試題卷和答題卷,考生須在答題卷上作答,答題前,請?jiān)诖痤}卷的密封線內(nèi)填寫學(xué)校、班級、準(zhǔn)考證號、姓名;
2.本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,全卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.
參考公式:
第Ⅰ卷 (選擇題  共50分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.) 
1.復(fù)數(shù) (是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是位于(    )
A.第一象限   B.第二象限  C.第三象限  D.第四象限
2.設(shè) ,則“ ”是“直線 與直線 平行”的(    )
A.充分不必要條件                     B.必要不充分條件
C.充要條件                           D.既不充分也不必要條件
3.已知集合 ,  ,且 ,則 (    )
A.  4        B. 5           C. 6          D. 7
4.設(shè)z=x+y,其中x,y滿足 當(dāng)Z的最大值為6時(shí), 的值為(    )  
  A.3      B.4         C.5         D.6
5.閱讀如下圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入 ,則輸出 的值為(    )
A.  12    B.  6    C.  3     D.  0
6. 的三個(gè)內(nèi)角 對應(yīng)的邊分別 ,且 成等差數(shù)列,則角 等于(      )
A .      B.      
C.        D.   
7.設(shè) ,則二項(xiàng)式 展開式中的 項(xiàng)的系數(shù)為(    )  
 A .      B.  20   
 C.     D.  160
8.如下圖所示,在棱長為2的正方體 內(nèi)(含正方體表面)任取一點(diǎn) ,則 的概率 (    ) 
A.            B.          C.             D.  
9.已知平面上的線段及點(diǎn) ,在上任取一點(diǎn) ,線段 長度的最小值稱為點(diǎn) 到線段的距離,記作 .設(shè)是長為2的線段,點(diǎn)集 所表示圖形的面積為(    )
A.           B.           C.                 D. 
10.如下圖所示,有三根針和套在一根針上的 個(gè)金屬片,按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。
(1) 每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片;
(2) 在每次移動(dòng)過程中,每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。
若將 個(gè)金屬片從1號針移到3號針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為 ,則 =(    )
A. 33         B. 31       C.17        D. 15
 
二、填空題:本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
11.在樣本頻率分布直方圖中,共有11個(gè)小長方形,若中間一個(gè)小長方形的面積等于其它10個(gè)長方形的面積和的 ,且樣本容量為160,則中間一組的頻數(shù)為         
12.在平面直角坐標(biāo)系 中,若雙曲線 的焦距為8,則           
13.如圖,矩形 的一邊 在 軸上,另外兩個(gè)頂點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上.若點(diǎn) 的坐標(biāo)為  且  ,記矩形  
 的周長為 ,則                           
14.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為          
 
15.我國齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖暅(公元5-6世紀(jì))提出了一條原理:“冪勢既同,則積不容異.”這句話的意思是:夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總是相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.
設(shè):由曲線 和直線 , 所圍成的平面圖形,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為 ;由同時(shí)滿足 , , , 的點(diǎn) 構(gòu)成的平面圖形,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為 .根據(jù)祖暅原理等知識,通過考察 可以得到 的體積為             
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答寫在答題卡相位置,應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分13分)
已知 為坐標(biāo)原點(diǎn),對于函數(shù) ,稱向量 為函數(shù) 的伴隨向量,同時(shí)稱函數(shù) 為向量 的伴隨函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù) ,試求 的伴隨向量 的模;
(Ⅱ)記 的伴隨函數(shù)為 ,求使得關(guān)于 的方程 在 內(nèi)恒有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解的實(shí)數(shù)的取值范圍.
17.(本小題滿分13分)
某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷,凡在該超市購物滿300元的顧客,將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會,規(guī)則如下:
獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球,1個(gè)黃球,1個(gè)白球和1個(gè)黑球.顧客不放回的每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng),否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)5元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).
(Ⅰ)求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率;
(Ⅱ)記 為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18.(本小題滿分13分)
如圖, 是半圓 的直徑, 是半圓 上除 、 外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 垂直于半圓 所在的平面,  ∥ , , , .
⑴證明:平面 平面 ;
⑵當(dāng)三棱錐 體積最大時(shí),求二面
角 的余弦值.
 
19.(本小題滿分13分)
已知圓 ,橢圓 .
(Ⅰ)若點(diǎn) 在圓 上,線段 的垂直平分線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn),求點(diǎn) 的橫坐標(biāo);
(Ⅱ)現(xiàn)有如下真命題:
“過圓 上任意一點(diǎn) 作橢圓 的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”;
“過圓 上任意一點(diǎn) 作橢圓 的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”.
據(jù)此,寫出一般結(jié)論,并加以證明.
20.(本小題滿分14分)已知函數(shù) , ( )
(1)若函數(shù) 存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(2)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng) 且 時(shí),令 , ( ), ( )為曲線y= 上的兩動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),能否使得 是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且斜邊中點(diǎn)在y軸上?請說明理由。
21.本題有(1)、(2)、(3)三個(gè)選答題,每題7分,請考生任選2題做答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.
(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A= 有一個(gè)屬于特征值1的特征向量 .
  (Ⅰ) 求矩陣A;
  (Ⅱ) 若矩陣B= ,求直線 先在矩陣A,再在矩陣B的對應(yīng)變換作用下的像的方程.  
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
已知曲線 的極坐標(biāo)方程是 ,直線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與 軸的交點(diǎn)是 , 是曲線 上一動(dòng)點(diǎn),求 的最大值.
(3)(本小題滿分7分)選修 :不等式選講
(I)試證明柯西不等式:  
(II)已知 ,且 ,求 的最小值.
 
福建省福建師大附中2013屆5月高考三輪模擬試卷
數(shù)學(xué)理科試題參考答案
1-5 DCDAB 6-10 BCADB   11、32  12、3  13、216   14.   15.     
16.解:(Ⅰ)∵  ,  ……… 2分
∴ .                ………………………… 4分
故 .         ……………………… 5分
(Ⅱ)由已知可得  ,………………7分
∵ ,  ∴ , 
故 .         ……………………… 9分
∵當(dāng) 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞增,且 ;
當(dāng) 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞減,且 .
∴使得關(guān)于 的方程 在 內(nèi)恒有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解的實(shí)數(shù)的取值范圍為 .     … 13分
17.(Ⅰ)解:設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件 ,         
則  ,
故1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率為 .               ………………4分
(Ⅱ)解:隨機(jī)變量 的所有取值為 .            ………………5分
 ,                 ,
 ,     , 
 .                        ………………10分
所以,隨機(jī)變量 的分布列為: 
                                                           ………11分
 .         ………………13分
18.(Ⅰ)證明:因?yàn)?是直徑,所以              ………………1分,
因?yàn)?平面 ,所以                        ………………2分,
因?yàn)?,所以 平面                   ………………3分
因?yàn)?,  ,所以 是平行四邊形, ,所以 平面                                                      ………………4分,
因?yàn)?平面 ,所以平面 平面            ………………5分
(Ⅱ)依題意,              ………………6分,
由(Ⅰ)知  
  ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立                               ………………8分
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則 , ,  ,則 , , ,              ……………………9分
設(shè)面 的法向量為 , ,即   ,                             ……………………10分
設(shè)面 的法向量為 ,  ,即   ,                                  ……………12分
可以判斷 與二面角 的平面角互補(bǔ) 二面角 的余弦值為 。                                    ……………………13分
19. 解法一:
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn) ,則 , (1)    ……………………1分
設(shè)線段 的垂直平分線與 相交于點(diǎn) ,則  ,……2分
橢圓 的右焦點(diǎn) , ………………3分
 ,  ,   ,
  ,  (2)…………………………4分
由(1),(2),解得  , 點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 . ……………5分
(Ⅱ)一般結(jié)論為:
“過圓 上任意一點(diǎn) 作橢圓 的兩條切線,則這兩條切線互相垂直.”  ……………………………6分 
證明如下:
(。┊(dāng)過點(diǎn) 與橢圓 相切的一條切線的斜率
不存在時(shí),此時(shí)切線方程為 ,
 點(diǎn) 在圓 上 ,  ,
 直線 恰好為過點(diǎn) 與橢圓 相切的另一條切線
 兩切線互相垂直.………………………………7分
(ⅱ)當(dāng)過點(diǎn) 與橢圓 相切的切線的斜率存在時(shí),
可設(shè)切線方程為 ,
由 得  ,
整理得 ,……………8分
 直線與橢圓相切,
  ,
整理得 ,………………………9分
  ,  ………………………10分
   點(diǎn) 在圓 上,  ,   ,  , 兩切線互相垂直,
綜上所述,命題成立.…………………………………………………13分
解法二:
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn) ,則 , (1)……………………………1分
橢圓 的右焦點(diǎn) ,………………………………2分
 點(diǎn) 在線段 的垂直平分線上,    ,
   ,   , (2)……4分
由(1),(2),解得 ,  點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 .……………5分
(Ⅱ)同解法一.
20. 解:(Ⅰ) ,若 存在極值點(diǎn),則 有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根。所以 ,                 ……………2分
解得                                                 ……………3分
(Ⅱ)                                      ……………4分
當(dāng) 時(shí), ,函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ;……………5分
當(dāng) 時(shí), ,函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ,單調(diào)遞增區(qū)間為 。
……………7分
(Ⅲ) 當(dāng) 且 時(shí), 假設(shè)使得 是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且斜邊中點(diǎn)在y軸上。則 且 。……………8分
不妨設(shè) 。故 ,則 。 , 該方程有解
………………………………………………9分
當(dāng) 時(shí),則  ,代入方程 得 即 ,而此方程無實(shí)數(shù)解;                 …………………………10分
當(dāng) 時(shí), 則 ;             …………11分
當(dāng) 時(shí),則  ,代入方程 得 即 ,                   …………………………………12分
設(shè) ,則 在 上恒成立。  在 上單調(diào)遞增,從而 ,則值域?yàn)?。
 當(dāng) 時(shí),方程 有解,即方程 有解。…………13分
綜上所述,對任意給定的正實(shí)數(shù) ,曲線上總存在 兩點(diǎn),使得 是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且斜邊中點(diǎn)在y軸上。………………………………14分
21.(1)【解析】(Ⅰ)由已知得 ,所以  …………2分
    解得   故A= .   ……………………………………………………3分
 (Ⅱ)  BA=  = ,因?yàn)榫仃嘊A 所對應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點(diǎn)),所以可取直線 上的兩點(diǎn)(0,1),(-1,2),                               …………………………………………4分
 , ,由得:(0,1),(-1,2)在矩陣A所對應(yīng)的線性變換下的像是點(diǎn)(1,-3),(-1,-1)  ……………………………6分
從而直線 在矩陣BA所對應(yīng)的線性變換下的像的方程為 .…………7分
(2)解:(Ⅰ)曲線 的極坐標(biāo)方程可化為 ,
又 ,
所以曲線 的直角坐標(biāo)方程為  …………………3分
   (Ⅱ)將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,得 ,…………4分
    令 ,得 ,即 點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0). 又曲線 為圓,圓 的圓心坐標(biāo)為(0,1),
半徑 ,則 ,……………………………………………………6分           
所以 .即 的最大值為 ……………………7分
(3)(Ⅰ)證明:左邊= ,
          右邊= ,
    左邊 右邊  ,         ………………2分
          左邊 右邊  ,    命題得證   .    ………………………3分
(Ⅱ)令 ,則 ,                  
     ,       ,                                   
      ,  ………………………4分
   由柯西不等式得: ,   ………………………5分
當(dāng)且僅當(dāng) ,即 ,或 時(shí)………6分
     的最小值是1 .   ……………………7分
解法2: ,  ,                    
 ,   ………………4分
 ,        ………………………5分
當(dāng)且僅當(dāng) ,或 時(shí)    …………………6分
       的最小值是1.      ………………7分
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)  http://m.seo-9.cn/math/
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