∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:
3
2 [ 2 , 2 ],
6 2 2
x k k k Z
∴
5
[ , ],
36
x k k k Z
∴
() fx
在
5
[ , ],
36
k k k Z
上單調(diào)減.········· 13分
.(Ⅰ) , 分別為 的中點,
為矩形, ················· 2 分
,又
面 , 面 ,
平面 ⊥平面 ····················· 4 分
(Ⅱ) ,又 ,
又 ,所以 面 , ··················6 分
法一:建系 為 軸, 為 軸, 為 軸,
, ,
平面 法向量 ,平面 法向量 ·········· 10 分
,可得 . ·············14分
二:連 交 于點 ,四邊形 為平行四邊形,所以 為 的中點,連 ,
則 , 面 , ,
作 于 點,所以 面 ,
連 ,則 , 即為所求 ············· 10 分
在 中, ,
解得 . ·············14 分
. (1)記“從這10天的PM2.5日均值檢測數(shù)據(jù)中,隨機抽出3天,恰有一天空氣質(zhì)
量達到一級” 為事件A,則
12
37
3
10
21
(A)=
40
CC P
C
(2)依據(jù)條件,
服從超幾何分布,其中
10 3 3 N M n , ,
,
的可能取值為
0 1 2 3 ,,,
,
3
37
3
10
()
kk
CC Pk
C
, //CD AB , AD CD 2 2 AB CD ADF CD ABFD BF AB EF DC EC DE , EF AB CD AB , // AE E EF BF , BEF AE ABE ABE BEFEF DC EC DE , EF PD// PD AB CD AB , // PD AB AB PAD PA AB AB x AD y AP z ) 0 , 2 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 ( D B ) , 0 , 0 ( a P ) 0 , 2 , 2 ( C )
2
, 1 , 1 (
a
E BCD 1 (0,0,1) n EBD) 2 , , 2 ( 2 a a n ]
2
2
,
2
1
[
4 5
2
cos
2
a
]
5
15 2
,
5
5 2
[ a AC BF K ABCF K AC EK PA EK // EK ABCD EK BD BD KH H BD EKH EH EH BD EHK EHK Rt 5
1
5
2
2
1
HK ] 3 , 1 [
2
5
5
1
2 tan
a
a
]
5
15 2
,
5
5 2
[ a
0 1 2 3
P
7
24
21
40
7
40
1
120
(3)依題意可知,一年中每天空氣質(zhì)量達到一級或二級的概率為
7
10
P
設(shè)一年中空氣質(zhì)量達到一級或二級的平均天數(shù)為
,
~ (366 0.7) B ,
∴
366 0.7 256 E
18.(1)
'( ) 2
b
f x ax
x
由
'(1) 3
(1) 2
f
f
,得
2
1
a
b
2
( )=2 ln f x x x
,
2
1 4 1
'( ) 4
x
f x x
xx
,令
'( ) 0 fx
得
1
2
x
所以
10
1
1
2
1
1
2
k
k
k
≥
,解得
3
1
2
k
(2)設(shè)
22 1 1 1
( ) ln 2
3 2 6
c
g t t t ct
,根據(jù)題意可知
min min ( ) ( ) g t f x
由(1)知
min
11
( ) ( ) ln 2
22
f x f
2
'( ) ( 1) ( 1)( ) g t t c t c t t c
當
1 c
時,
'( ) 0 gt ≥
,
() gt
在
13 t ,
上單調(diào)遞增,
min ( ) (1) ln 2
2
c
g t g
滿足
min min ( ) ( ) g t f x
當
13 c
時,
() gt
在
1 tc ,
時單調(diào)遞減,在
3 tc,
時單調(diào)遞增,
32
min
1 1 1
( ) ( ) ln 2
6 2 6
g t g c c c
由
32 1 1 1 1
ln 2 ln 2
6 2 6 2
cc
得
32
3 2 0 cc ≥
,
-1 ( 2 2) 0 c c c ( ) ≥
.此時
1+ 3 3 c
當
3 c≥
時
() gt
在
13 ,
上單調(diào)遞減
min
3 14
( ) (3) ln 2
23
c
g t g
3 14 3 3 14 1
(3) ln 2 ln 2 ln 2
2 3 2 3 2
c
g
綜上
c
的取值范圍是
1 1 3 , ,
.
19. (1)根據(jù)題意可知:
( ,0)
2
p
F
,設(shè)直線
l
的方程為:
2
p
x ky
,則:
聯(lián)立方程:
2
2
2
p
x ky
y px
,消去
x
可得:
22
20 y pky p
(*),
根據(jù)韋達定理可得:
2
12 4 y y p
,∴
2 p
,∴
C
:
2
4 yx
(2)設(shè)
00 ( , ) E x y
,則:
0 1 2
0 1 2
2( )
2( )
x x x
y y y
,由(*)式可得:
12 2 y y pk
∴
0 8 yk
,
又
11
22
2
2
p
x ky
p
x ky
,∴
22
1 2 1 2 ( ) 2 4 2 x x k y y p pk p k
∴
2
0 84 xk
∵
2
00 4 yx
,∴
22
64 4(8 4) kk
,∴
2
21 k
,∴
2
2
k
∴直線
l
的斜率
1
=2 l
k
k
,
(3)可以驗證該定值為
0 2k
,證明如下:
設(shè)
( 1, ) M My
,則:
0
2
M y
k
,
1
1
1 1
M yy
k
x
,
2
2
2 1
M yy
k
x
∵
11
22
1
1
x ky
x ky
,∴
11
22
12
12
x ky
x ky
∴
1 2 1 2
12
1 2 1 2 1 1 2 2
M M M M y y y y y y y y
kk
x x ky ky
1 2 2 1
12
( )( 2) ( )( 2)
( 2)( 2)
MM y y ky y y ky
ky ky
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2( ) ( ( ) 4)
2 ( ) 4
M ky y y y y k y y
k y y k y y
2
22
8 8 (4 4)
4 8 4
M
M
k k y k
y
kk
∴
1 2 0 2 k k k
為定值
19.本題共14 分
(1)略
(2)證明:集合
23
{} n
A m m m m , , , ,
的衍生數(shù)列
*
{ - 1 , } ji
A m m i j n i j Z 且 ,
- = 1 j i i z
m m m m
且
j mz
,
*
m z Z ,
又
2 m≥
則
1 1 * i z z
m m m Z
∴
1 z
m
與
1 iz
mm
有相同的余數(shù),
又
1
1 1 = 1 z z z
m m m m m m
,且
1
1* z
mZ
即
1
1 1 1 zz
m m m m
且
1 m
與
m
互質(zhì)
所以集合
23
{} n
A m m m m , , , ,
的衍生數(shù)列屬于
1 m k
(3)證明:對于給定的正整數(shù)
2 m≥
,若整數(shù)
x
被
m
除得的余數(shù)為
i
,
{0 1 1} im ,, ,
,則稱
x
屬于模
m
的剩余類
i
K
.
設(shè)
A
的元素中屬于
i
K
的數(shù)有
0 1 2 1 i
n i m ,,, ,
個,而集合
{1 2 3 } Bn ,,
的
元素中屬于
i
K
的數(shù)有
' 0 1 2 1 i
n i m ,,, ,
個,則
11
0 1 0
'=
mm
ii
i
n n n
(*1)
易知,對已任意
'
i
i j n ,,
與
'
j
n
至多相差1,且
xy
是
m
的倍數(shù)當且僅當兩數(shù)
xy ,
屬于模
m
同一個剩余類.對于剩余類
i
K
中的任一對數(shù)
ij
aa ,
,有
ji
m a a
,故屬
于
i
K
中的
i
n
個數(shù),共作成
2
C i
n
個
m
的倍數(shù),考慮所有的
i
,則
1
2
1
i
m
n
i
A m C
,
類似得
1
2
'
i
m
n B m C
為了證明本題,只需證
11
22
'
11
ii
mm
nn
ii
CC
≥
,化簡后,即只要證
11
22
11
'
mm
ii
ii
nn
≥
(*2)
據(jù)(*1)易知,若對任意
1 ij
i j n n ,, ≤
,則
0 1 1 m n n n , , ,
與
0 1 1 ' ' '
m n n n , , ,
就是同一組數(shù)(至多只有順序不同),這時(*2)將取得等號.
若對任意
2 ij
i j n n ,, ≥
,這時將
ij
nn ,
兩數(shù)調(diào)整為
ij
nn ,
,其中
=1 ii
nn
,
=1 jj
nn
,其他元素不變,則
+ = + i j i j
n n n n ,
由于
22 22
+ = + =2 1 0 i j i j i j
n n n n n n ,
,
故調(diào)整后(*2)式左邊的和值將減少,因此(*2)式取得最小值當且僅當
0 1 1 m n n n , , ,
與
0 1 1 ' ' '
m n n n , , ,
為同一組數(shù)(至多只有順序不同),即(*2)
成立,因此結(jié)論得證.