2014年上海六校聯(lián)考數(shù)學考試(文科)試卷

學習頻道    來源: 陽光學習網(wǎng)      2024-07-20         

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2014年上海六校聯(lián)考數(shù)學考試試卷(文科)
 
                  數(shù)學試卷(文科)      2014年3月6日
   (完卷時間120分鐘,滿分150分)
一、填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題,只要求將最終結果直接填寫答題紙上相應的橫線上,每個空格填對得4分,否則一律得零分.
已知,,則                       .
已知集合,,若,則實數(shù)的取值范圍是                       .
設等差數(shù)列的前項和為,若,,則等于                       .
若是純虛數(shù)(是虛數(shù)單位),則實數(shù)的值為                       .
拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是                       .
已知向量,,,則向量與的夾角為                       .
執(zhí)行右圖的程序框圖,如果輸入,則輸出的值為                       .
不等式對任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍是                       .
若是展開式中項的系數(shù),
則                       .
已知一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為,圓心角為的扇形,則此圓錐的體積為                       .
設,若不等式組 所表示的平面區(qū)域是一個銳角三角形,則實數(shù)的取值范圍是                       .
從這個整數(shù)中任意取個不同的數(shù)作為二次函數(shù)的系數(shù),則使得的概率為                       .
已知點為橢圓的左焦點,點為橢圓上任意一點,點的坐標為,則取最大值時,點的坐標為                       .
 已知、、為直線上不同的三點,點直線,實數(shù)滿足關系式
,有下列命題:
① ;   ② ;
③ 的值有且只有一個;  ④ 的值有兩個;
⑤ 點是線段的中點.
則正確的命題是                       .(寫出所有正確命題的編號)
 
二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題,每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論,其中有且只有一個結論是正確的,必須把答題紙上相應的正確代號用2B鉛筆涂黑,選對得5分,不選、選錯或者選出的代號超過一個,一律得零分.
若,則“成立”是“成立”的                             (      )
 。ˋ)充分非必要條件                    (B)必要非充分條件
 。–)充要條件                            (D)既非充分又非必要條件
下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為                       (      )
 。ˋ)                          (B)
 。–)                           (D)
已知和是兩條不同的直線,和是兩個不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出的是                                                                            (      )
A)且                    (B)且 
 。–)且                    (D)且
對于函數(shù),若存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間為函數(shù)的一個“可等域區(qū)間”.
  下列函數(shù)中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為                           (      )
 。ˋ)              (B)
 。–)                      (D)
  
三、解答題(本大題共5題,滿分74分)每題均需寫出詳細的解答過程.
(本題滿分12分)本題共有2小題,第(1)小題滿分6分,第(2)小題滿分6分.
  在△中,角,,所對的邊長分別為,,,
  且.
  (1)若,,求的值;
  (2)若,求的取值范圍.
  
  
  
  
  
  
 
 
 
 
(本題滿分14分)本題共有2小題,第(1)小題滿分7分,第(2)小題滿分7分.
  如圖,幾何體中,為邊長為的正方形,為直角梯形,,,,,.
 。1)求異面直線和所成角的大;
 。2)求幾何體的體積.
  
  
  
   
   
   
   
  
  
  
(本題滿分14分) 本題共有2小題,第(1)小題滿分7分,第(2)小題滿分7分.
  為了保護環(huán)境,某工廠在國家的號召下,把廢棄物回收轉化為某種產(chǎn)品,經(jīng)測算,處理成本(萬元)與處理量(噸)之間的函數(shù)關系可近似的表示為:
,且每處理一噸廢棄物可得價值為萬元的某種產(chǎn)品,同時獲得國家補貼萬元.
(1)當時,判斷該項舉措能否獲利?如果能獲利,求出最大利潤;
   如果不能獲利,請求出國家最少補貼多少萬元,該工廠才不會虧損?
(2)當處理量為多少噸時,每噸的平均處理成本最少?
  
  
  
  
  
  
  
  
(本題滿分16分)本題共有3小題,第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分6分,第(3)小題滿分6分.
  已知各項為正數(shù)的數(shù)列中,,對任意的,成等比數(shù)列,公比為;成等差數(shù)列,公差為,且.
 。1)求的值;
 。2)設,證明:數(shù)列為等差數(shù)列;
 。3)求數(shù)列的前項和.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
(本題滿分18分)本題共有3小題,第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分6分,第(3)小題滿分8分.
  如圖,圓與直線相切于點,與正半軸交于點,與直線在第一象限的交點為. 點為圓上任一點,且滿足,動點的軌跡記為曲線.
 。1)求圓的方程及曲線的軌跡方程;
 。2)若直線和分別交曲線于點、和、,
     求四邊形的周長;
 。3)已知曲線為橢圓,寫出橢圓的對稱軸、頂點坐標、范圍和焦點坐標.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   2014年上海市高三年級 六校聯(lián)考 
   數(shù)學試卷(文科)答案
   一、填空題
  1.       2.       3.        4.           5. 
  6、    7.         8.        9.         10.  
  11、  12.      13.       14.①③⑤  
   
   二、選擇題
  15. C        16. A        17. C          18. B
   
   三、解答題
   19. 解:(1)在△中,.
  
  所以.
  
  ,所以.                                               ………………3分
  
  由余弦定理,
  
  得.
  
  解得或.                                                  ………………6分
  
  (2)
        
        .                                      ………………9分
  
  由(1)得,所以,,
  則. 
  ∴.
  
  ∴.
  
  ∴的取值范圍是.                                      ………………12分
   20. 解:(1)解法一:在的延長線上延長至點使得,連接.
  由題意得,,,平面,
  ∴平面,∴,同理可證面.
  ∵ ,,
  ∴為平行四邊形,
  ∴.
  則(或其補角)為異面直線和
  所成的角.                     ………………3分
  由平面幾何知識及勾股定理可以得
  
  在中,由余弦定理得
 。
  ∵ 異面直線的夾角范圍為,
  ∴ 異面直線和所成的角為.                        ………………7分
  
   解法二:同解法一得所在直線相互垂直,故以為原點,所在直線
  分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,                       ………………2分
  可得,
  ∴ ,
  得.          ………………4分
  設向量夾角為,則
 。
  ∵ 異面直線的夾角范圍為,
  ∴ 異面直線和所成的角為.                        ………………7分
  
 。ǎ玻┤鐖D,連結,過作的垂線,垂足為,則平面,且.
                                                                     ………………9分
  ∵ ……………11分
       
       
       .
      ∴ 幾何體的體積為.……14分
  
  
  21. 解:(1)根據(jù)題意得,利潤和處理量之間的關系:
  
   
                                                  ………………2分
   ,. 
  ∵,在上為增函數(shù),
   可求得.                                          ………………5分
  ∴ 國家只需要補貼萬元,該工廠就不會虧損.                      ………………7分
 。2)設平均處理成本為
                                              ………………9分
     ,                                     ………………11分
    當且僅當時等號成立,由 得.
    因此,當處理量為噸時,每噸的處理成本最少為萬元.       ………………14分
  22. 解:(1)由題意得
   ,,或.                     ………………2分
  故數(shù)列的前四項為或.                          ………………4分
 。2)∵成公比為的等比數(shù)列,
       成公比為的等比數(shù)列
  ∴,
  又∵成等差數(shù)列,
  ∴.
  得,,                         ………………6分
  ,
  ∴,,即.
  ∴ 數(shù)列數(shù)列為公差等差數(shù)列,且或.   ……8分
 ∴或.                               ………………10分
(3)當時,由(2)得.
 ,,
 ,
 .                       ………………13分
 當時,同理可得,.                     ………………16分
 
 解法二:(2)對這個數(shù)列,猜想, 下面用數(shù)學歸納法證明:
 。┊敃r,,結論成立. 
、ⅲ┘僭O時,結論成立,即.
 則時,
由歸納假設,. 由成等差數(shù)列可知,于是,
 ∴ 時結論也成立.
 所以由數(shù)學歸納法原理知.                        ………………7分
 此時.
 同理對這個數(shù)列,同樣用數(shù)學歸納法可證. 此時.
 ∴或.                                             ………………10分
 
(3)對這個數(shù)列,猜想奇數(shù)項通項公式為.
 顯然結論對成立. 設結論對成立,考慮的情形.
 由(2),且成等比數(shù)列,
 故,即結論對也成立.
從而由數(shù)學歸納法原理知.于是(易見從第三項起每項均為正數(shù))以及,此時.  ………………13分
對于這個數(shù)列,同樣用數(shù)學歸納法可證,此時.
 此時.                            ………………16分
 
 
23. 解:(1)由題意圓的半徑,
故圓的方程為.                                        ………………2分
由得,,
即,得
()為曲線的方程.(未寫范圍不扣分)…4分
(2)由解得:或,
所以,A(,),C(-,-)
同理,可求得B(1,1),D(-1,-1)
所以,四邊形ABCD的周長為:
(3)曲線的方程為(),
它關于直線、和原點對稱,下面證明:
  設曲線上任一點的坐標為,則,點關于直線的對稱點為,顯然,所以點在曲線上,故曲線關于直線對稱,
  同理曲線關于直線和原點對稱.
可以求得和直線的交點坐標為
和直線的交點坐標為,
,,,.
在上取點 .                 
曲線為橢圓:
其焦點坐標為.  
 
下載地址:
2014年上海六校聯(lián)考數(shù)學考試(文科)試卷
 
數(shù)學學習  http://m.seo-9.cn/math/
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